Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/117

unes d’entre elles, se présentent sous la forme ${\frac {0}{0}}$ si le problème est indéterminé, ou sous la forme ${\frac {a}{0}}$ si le problème est impossible. Dans ce dernier cas on doit abandonner le problème ; dans le premier, il s’agit de reconnaître quelles sont les équations essentiellement distinctes.

4. Mais, dans l’un et dans l’autre cas, on aura fait des calculs inutiles si l’on a commencé par chercher les valeurs des inconnues ; et il est clair qu’on aurait pu se les épargner, si l’on avait su résoudre cette question : Des équations du premier degré en nombre quelconque, entre des inconnues, étant données, découvrir si, parmi ces équations, il s’en trouve d’équivalentes ou de contradictoires ? C’est donc là le problème qui doit principalement nous occuper.

5. Soient d’abord $\mathrm {A,B,C,\ldots G,H}$ des inconnues en nombre quelconque, et soient les deux équations

$\left.{\begin{aligned}&a\,A\,+b\,B\,+c\,C+\ldots +g\,G\,+h\,H\,+k\ =0,\\&a'A+b'B+c'C+\ldots +g'G+h'H+k'=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(1)

soient posées

$ma+a'=0,\ mb+b'=0,\ mc+c'=0,\ldots mg+g'=0,\ mh+h'=0\,;$ (2)

si la valeur de $m$, tirée de l’une quelconque des équations (2), satisfait à toutes les autres, sans satisfaire à l’équation $mk+k''=0,$ on en conclura que les deux équations (1) sont incompatibles ; si, au contraire, cette valeur de $m$ satisfait à la dernière équation, il s’ensuivra que les équations (1) sont équivalentes et ne doivent compter que pour une seule ; mais si la valeur de $m,$ tirée de l’une quelconque des équations (2), ne satisfaisait pas à toutes les autres, les deux équations (1) ne seraient ni incompatibles, ni équivalentes.

6. Qu’on ait présentement tant d’équations qu’on voudra, de la