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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {\operatorname {d} ^{-m}X}{\operatorname {d} x^{-m}}}$ est l’équivalent de $\int ^{m}X\operatorname {d} x^{m}\,;$

donc, par le simple changement du signe de $m$, on conclura de l’équation précédente

$\int ^{m}X\operatorname {d} x^{m}=\varphi (x,-m)\,;$

et, en particulier, en posant $m=1$,

$\int X\operatorname {d} x=\varphi (x,-1).$

Nous ne craignons pas de trop hasarder en donnant ce peu de lignes comme l’équivalent des préceptes, si nombreux et si variés, qui ont été donnés jusqu’ici pour l’intégration des fonctions différentielles d’une seule variable^[1].

Pour prendre d’abord un exemple des plus simples, supposons qu’il soit question d’assigner la valeur de l’intégrale $\int x^{r}\operatorname {d} x.$ On aura ici

$X=x^{r},\ {\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}=rx^{r-1},\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}=r(r-1)x^{r-2},\ {\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}}=r(r-1)(r-2)x^{r-3}.$

Il n’en faudra pas davantage pour être conduit à penser qu’on doit avoir, en général,

${\frac {\operatorname {d} ^{m}X}{\operatorname {d} x^{m}}}=r(r-1)(r-2)\ldots (r-m+1)x^{r-m},$

1. Nous croyons avoir lu quelque part que le comte de Buquoy, chambellan de S. M. l’Empereur d’Autriche, a imaginé, il y a quelques années un procédé d’intégration à peu près pareil à celui-ci. C’est encore au même procédé que revient la méthode donnée par M. Bouvier (Annales, tom. xv, pag. 41) pour l’intégration de l’équation linéaire du premier ordre.
   J. D. G.