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on s’en assurera d’ailleurs en remarquant que, si l’on pose

${\frac {\operatorname {d} ^{m-1}X}{\operatorname {d} x^{m-1}}}=r(r-1)(r-2)\ldots (r-m+2)x^{r-m+1},$

on retombera, par différentiation, sur l’expression supposée.

On peut écrire, plus brièvement, suivant la notation des facultés numériques,

${\frac {\operatorname {d} ^{m}x^{r}}{\operatorname {d} x^{m}}}=(r-m+1)^{m|1}x^{r-m}\,;$

d’où on conclura, en changeant le signe de $m$,

$\int ^{m}x^{r}\operatorname {d} x^{m}=(r+m-1)^{-m|1}x^{r+m}\,;$

mais (Annales, tom. iii, pag. 2)

$(r+m-1)^{-m|1}={\frac {1}{(r+1)^{m|1}}}\,;$

donc, on aura finalement

$\int ^{m}x^{r}\operatorname {d} x^{m}={\frac {r+m}{(r+1)^{m|1}}},$

ou, en développant,

$\int ^{m}x^{r}\operatorname {d} x^{m}={\frac {r+m}{(r+1)(r+2)(r+3)\ldots (r+m)}}$

et, en changeant le signe de r,

$\int ^{m}{\frac {\operatorname {d} x^{m}}{x^{r}}}={\frac {(-1)^{m}}{(r-1)(r-2)(r-3)\ldots (r-m)x^{r-m}}}$

donc, en particulier, en posant $m=1$,