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d’où l’on voit qu’en divisant $r$ par $ma^{m-1}$ on obtiendra le surplus $x$ de la racine, à moins d’une demi-unité près, pourvu qu’on ait

${\frac {1}{2}}>{\frac {m-1}{2}}.{\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {m-1}{2}}{\frac {m-2}{3}}.{\frac {x^{3}}{a^{2}}}+{\frac {m-1}{2}}{\frac {m-2}{3}}{\frac {m-3}{4}}.{\frac {x^{4}}{a^{3}}}+\ldots$

ou bien

${\frac {1}{2}}>{\frac {m-1}{2}}{\frac {x^{2}}{a}}\left\{1+{\frac {m-2}{3}}{\frac {x}{a}}+{\frac {m-2}{3}}{\frac {m-3}{4}}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+\ldots \right\}.$

Où cette inégalité ne cessera pas d’être satisfaite si, dans son second membre, on remplace les fractions ${\frac {m-3}{4}},\ {\frac {m-4}{5}},\ {\frac {m-5}{6}},\ldots ,$ par la fraction plus grande ${\frac {m-2}{3}},$ et qu’on prolonge en outre ce second membre à l’infini ; de sorte qu’il suffit qu’on ait

${\frac {1}{2}}>{\frac {m-1}{2}}{\frac {x^{2}}{a}}\left\{1+\left({\frac {m-2}{3}}{\frac {x}{a}}\right)+\left({\frac {m-2}{3}}{\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m-2}{3}}{\frac {x}{a}}\right)^{3}+\ldots \right\}.$

ou bien

$1>{\frac {(m-1)x^{2}}{a}}.{\frac {1}{1-{\frac {m-2}{3}}.{\frac {x}{a}}}},$

ou encore

$1>{\frac {3(m-1)x^{2}}{3a-(m-2)x}},$

ou enfin

$3a>x\left\{3(m-1)x+(m-2)\right\}.$

Pour que cette dernière inégalité soit satisfaite, il suffira que le nombre des chiffres de son premier membre surpasse le nombre de ceux du second ; ou, plus simplement, que le nombre des chiffres de $3a$ surpasse le nombre des chiffres de $3(m-1)x^{2}$ ; ou que