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le nombre des chiffres de $a$ surpasse le nombre des chiffres de $(m-1)x^{2}$ ou de $mx^{2}.$ Or, $x^{2}$ a au plus le double du nombre des chiffres de $x\,;$ d’où il suit que $mx^{2}$ aura au plus le double du nombre des chiffres de $x$ augmenté du nombre des chiffres de $m\,;$ d’où résulte la règle suivante :

Si, cherchant la racine m.^ième d’un nombre entier, on a déjà obtenu un nombre de chiffres de cette racine qui soit au moins égal au nombre de ceux qui restent encore à trouver, augmenté du nombre des chiffres de l’exposant, on obtiendra le surplus de la racine cherchée, à moins d’une demi-unité près, en divisant simplement le reste de l’opération par $m$ fois la (m-1).^ième puissance de la racine déjà obtenue, et négligeant le reste de cette division.

Dans le cas particulier où $m=2$, cette règle rentre exactement dans celle qu’on donne dans les traités élémentaires, pour l’extraction de la racine quarrée ; mais on voit en même temps qu’elle a une étendue qu’on ne parait pas lui avoir soupçonné jusqu’ici^[1].

1. On ne parait pas avoir songé non plus, pour l’extraction de la racine quarrée, au procédé très-brief que voici, et qui serait susceptible d’une extension analogue à celle que M. Bobillier vient de donner au premier.

   Cherchez, à l’ordinaire, les deux premiers chiffres de la racine ; quarrez et retranchez. Divisez le reste par le double de la racine déjà obtenue, et vous aurez le troisième chiffre de la racine. Quarrez et retranchez encore ; divisez le reste par le double de toute la racine obtenue, et vous obtiendrez les deux chiffres suivans, ce qui fera cinq. Quarrez et retranchez ; divisez le reste par le double de toute la racine obtenue, et vous obtiendrez les quatre chiffres suivans, ce qui fera neuf. Quarrez et retranchez ; divisez le reste par le double de toute la racine obtenue, et vous obtiendrez les huit chiffres suivans, ce qui fera dix-sept ; et ainsi de suite.

   J. D. G.