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II. Soient, dans l’espace, $x,y,z$ les coordonnées d’un point $\mathrm {P}$ rapporté à trois axes rectangulaires, et $t,u,v$, les coordonnées du même point, rapportées à deux axes obliques de même origine ; ses dernières, avec les axes obliques, seront six arêtes, opposées deux à deux, d’un parallélipipède dont une diagonale sera la droite menée du point $\mathrm {P}$ à l’origine, les perpendiculaires abaissées des trois sommets qui environnent l’origine sur les plans des $yz$, des $zx$ et des $xy,$ seront savoir :

sur le plan des $yz,\ldots t\operatorname {Cos} .(t,x),\quad u\operatorname {Cos} .(u,x),\quad v\operatorname {Cos} .(v,x),$

sur le plan des $zx,\ldots t\operatorname {Cos} .(t,y),\quad u\operatorname {Cos} .(u,y),\quad v\operatorname {Cos} .(v,y),$

sur le plan des $xy,\ldots t\operatorname {Cos} .(t,z),\quad u\operatorname {Cos} .(u,z),\quad v\operatorname {Cos} .(v,z)\,;$

on aura donc (Théorème II)

${\begin{aligned}&x=t\operatorname {Cos} .(t,x)+u\operatorname {Cos} .(u,x)+v\operatorname {Cos} .(v,x),\\&y\,=t\operatorname {Cos} .(t,y)+u\operatorname {Cos} .(u,y)\,+v\operatorname {Cos} .(v,y),\\&z\,=t\operatorname {Cos} .(t,z)+u\operatorname {Cos} .(u,z)\,+v\operatorname {Cos} .(v,z)\,;\end{aligned}}$

ce sont les formules connues qui servent, dans l’espace, à passer d’un système rectangulaire à un système oblique de même origine.

iii. Soient $R$ l’une des diagonales d’un parallélogramme, et $r,r'$ les deux côtés de ce parallélogramme qui concourent avec l’une de ses extrémités ; par cette extrémité conduisons arbitrairement, dans le plan du parallélogramme, deux axes rectangulaires ; et soient alors respectivement $(a,b),\ (a',b'),$$(A,B),$ les extrémités des droites $r,r',R\,;$ nous aurons (Théorème I)

${\begin{aligned}&A=a+a',\\&B=b+b',\\\end{aligned}}$

en prenant la somme des quarrés de ces deux équations, il viendra