II. Soient, dans l’espace,
les coordonnées d’un point
rapporté à trois axes rectangulaires, et
, les coordonnées du même point, rapportées à deux axes obliques de même origine ; ses dernières, avec les axes obliques, seront six arêtes, opposées deux à deux, d’un parallélipipède dont une diagonale sera la droite menée du point
à l’origine, les perpendiculaires abaissées des trois sommets qui environnent l’origine sur les plans des
, des
et des
seront savoir :
sur le plan des
![{\displaystyle yz,\ldots t\operatorname {Cos} .(t,x),\quad u\operatorname {Cos} .(u,x),\quad v\operatorname {Cos} .(v,x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262a73cc259f8bf96ca781ccdf4ed8dfff994d02)
sur le plan des
![{\displaystyle zx,\ldots t\operatorname {Cos} .(t,y),\quad u\operatorname {Cos} .(u,y),\quad v\operatorname {Cos} .(v,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffab651ec594f85173113c979c01228735f341ec)
sur le plan des
![{\displaystyle xy,\ldots t\operatorname {Cos} .(t,z),\quad u\operatorname {Cos} .(u,z),\quad v\operatorname {Cos} .(v,z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602f027c5f917fc5dfc0b448b59e9ed319c495b1)
on aura donc (Théorème II)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=t\operatorname {Cos} .(t,x)+u\operatorname {Cos} .(u,x)+v\operatorname {Cos} .(v,x),\\&y\,=t\operatorname {Cos} .(t,y)+u\operatorname {Cos} .(u,y)\,+v\operatorname {Cos} .(v,y),\\&z\,=t\operatorname {Cos} .(t,z)+u\operatorname {Cos} .(u,z)\,+v\operatorname {Cos} .(v,z)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d24fc7460582d2de8f626d557b1af1bdc17710)
ce sont les formules connues qui servent, dans l’espace, à passer d’un système rectangulaire à un système oblique de même origine.
iii. Soient
l’une des diagonales d’un parallélogramme, et
les deux côtés de ce parallélogramme qui concourent avec l’une de ses extrémités ; par cette extrémité conduisons arbitrairement, dans le plan du parallélogramme, deux axes rectangulaires ; et soient alors respectivement ![{\displaystyle (a,b),\ (a',b'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8d469884a51c9659d87726ac8c6a001050ea12)
les extrémités des droites
nous aurons (Théorème I)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A=a+a',\\&B=b+b',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f04cd6ef3f7d4cbd93b0e0769746a6099e7a04d)
en prenant la somme des quarrés de ces deux équations, il viendra