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R^{2}=r^{2}+r'^{2}+2(aa'+bb')\,;

mais on sait que

aa'+bb'=rr'\operatorname {Cos} .(r,r')\,;

donc, en substituant,

R^{2}=r^{2}+r'^{2}+2rr'\operatorname {Cos} .(r,r').

iv. Soient $R$ l’une des diagonales d’un parallélipipède et $r,r',r''$ les trois arêtes de ce parallélipipède qui concourent à l’une de ses extrémités ; par cette extrémité conduisons, arbitrairement, dans l’espace, trois axes rectangulaires ; et soient alors respectivement $(a,b,c),\ (a',b',c'),\ (a'',b'',c''),\ (A,B,C)$ les extrémités des droites $r,r',r'',R\,;$ nous aurons (Théorème II)

{\begin{aligned}&A=a+a'+a'',\\&B=b+b'+b'',\\&C=c+c'+c''\,;\end{aligned}}

en prenant la somme des quarrés de ces équations, il viendra

R^{2}=r^{2}+r'^{2}+r''^{2}+2(a'a''+b'b''+c'c'')+2(a''a+b''b+c''c)

+2(aa'+bb'+cc')\,;

mais on sait que

{\begin{aligned}&a'a''+b'b''+c'c''=r'r''\operatorname {Cos} .(r',r''),\\&a''a\ \,+b''b\ +c''c\ =r''r\operatorname {Cos} .(r'',r),\\&a\ a'\ +b\ b'\ +c\ c'\ =r\ r'\operatorname {Cos} .(r\ ,r')\,;\end{aligned}}

donc, en substituant,

R^{2}=r^{2}+r'^{2}+r''^{2}+2r'r''\operatorname {Cos} .(r',r'')+2r''r\operatorname {Cos} .(r'',r)

+2rr'\operatorname {Cos} .(r,r')\,;

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↑ Nous avons déjà donné, par une analyse fort simple, à la pag. 51 de notre ix.^me volume, en fonction des trois arêtes d’un même angle d’un parallélipipède et des angles qu’elles forment deux à deux, non seulement la

[p141-1] Nous avons déjà donné, par une analyse fort simple, à la pag. 51 de notre ix.^me volume, en fonction des trois arêtes d’un même angle d’un parallélipipède et des angles qu’elles forment deux à deux, non seulement la

[1]