M. Bonetti, cadet au corps royal des Pontonniers, à Modène, et Vallès, ingénieur des ponts et chaussées, ancien élève de l’École polytechnique, ont eu l’heureuse idée de renverser le problème, c’est-à-dire qu’ils se sont proposés celui-ci :
Peut-on, sur le plan d’une ellipse donnée, décrire un cercle tel que les cordes interceptées par cette ellipse sur les tangentes à ce cercle soient toutes de même longueur ?
Il est d’abord aisé de voir que, si le problème est possible, le cercle ne devra pas couper l’ellipse ni même lui être tangent ; car alors on pourrait avoir, à la fois, des cordes d’une grandeur finie, des cordes d’une grandeur nulle et des cordes imaginaires ; ce cercle doit donc être intérieur à l’ellipse.
De plus, pour que les cordes de l’ellipse tangentes à ce cercle, menées parallèlement à un des axes de cette ellipse soient de même longueur, il est nécessaire que le centre du cercle soit sur cet axe ; ce centre doit donc être à la fois sur les deux axes de l’ellipse ; c’est-à-dire que le cercle et l’ellipse doivent être concentriques.
Cela posé, pour prouver qu’un tel cercle ne saurait exister, M. Bonetti suppose qu’ayant décrit ce cercle, on lui circonscrive un quarré ; alors, observe-t-il, ou ce quarré se trouvera être inscrit à l’ellipse ou bien il ne sera pas.
Si ce quarré se trouve inscrit à l’ellipse, le cercle ne pourra satisfaire aux conditions du problème. En effet, il est connu que le cercle inscrit au quarré, qui est lui-même inscrit à une ellipse, et dont les côtés sont parallèles à ses axes, est aussi inscrit au parallélogramme dont les sommets coïncident avec les sommets de l’ellipse ; or, les côtés de ce parallélogramme sont ou bien tandis que les côtés du quarré sont et étant les demi-axes. Or, on a d’où l’on voit que, dans ce cas, les cordes de l’ellipse, tangentes au cercle, ne seraient pas toutes de même longueur.
Il faudra donc, s’il existe un tel cercle, qu’en lui circonscri-
