vant un quarré, ayant ses côtés parallèles aux axes de l’ellipse, ses sommets soient tous intérieurs ou tous extérieurs à cette ellipse qui coupera conséquemment chacun de ses côtés ou leurs prolongemens en deux points ; or, il est visible que, pour que les quatre cordes qui correspondent à ces côtés fussent de même longueur, il faudrait que les huit points d’intersection de l’ellipse, avec les directions des côtés du quatre, fussent également distans de son centre, et cunséquemment sur une même circonférence qui couperait ainsi l’ellipse en huit points ; tandis que deux sections coniques ne sauraient avoir plus de quatre points communs.
Pour prouver l’impossibilité du problème, M. Vallès remarque qu’en désignant par le rayon du cercle, sa tangente au point a pour équation
sous la condition
et qu’en combinant l’équation de cette tangente avec celle de l’ellipse que nous supposons être
on trouve, pour la longueur de la corde interceptée par l’ellipse,
or, pou' que cette corde soit constante, il est nécessaire et il suffit que soit une quantité constante, quels que soient et ce qui assujétirait le point à être l’un des points d’une certaine ellipse ; mais ce point doit être à la circonférence d’un cercle, laquelle ne saurait se confondre avec cette ellipse qu’autant qu’on aurait c’est-à-dire, qu’autant que l’ellipse donnée serait elle-même un cercle.
