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Désignant pareillement par $A,B,C$ les cosinus tabulaires des angles que forme la génératrice avec les trois axes, nous aurons

$A^{2}+B^{2}+C^{2}=1,\qquad$(3)

et les équations de cette génératrice seront

${\frac {x}{A}}={\frac {y}{B}}={\frac {z}{C}}.\qquad$(4)

Si nous désignons par $\theta$ et $\theta '$ les angles variables, de grandeur mais constans de somme ou de différence, que forme cette génératrice avec les deux droites fixes, et par $2\alpha$ leur somme ou leur différence constante, nous aurons

$\theta \pm \theta '=2\alpha ,$

d’où

$\operatorname {Cos} .\theta \operatorname {Cos} .\theta '\mp \operatorname {Sin} .\theta \operatorname {Sin} .\theta '=\operatorname {Cos} .2\alpha ,$

ou, en transposant et quarrant

$(\operatorname {Cos} .\theta \operatorname {Cos} .\theta '-\operatorname {Cos} .2\alpha )^{2}=\operatorname {Sin} .^{2}\theta \operatorname {Sin} .^{2}\theta '$

$=\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\theta \right)\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\theta '\right)\,;$

ou enfin, en développant, transposant et réduisant,

$\operatorname {Cos} .^{2}\theta -2\operatorname {Cos} .\theta \operatorname {Cos} .\theta '\operatorname {Cos} .2\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\theta '=\operatorname {Sin} .^{2}2\alpha \,;$

mais on a,

$\operatorname {Cos} .\theta =aA+bB+cC,\qquad \operatorname {Cos} .\theta '=a'A+b'B+c'C\,;$

il viendra donc, en substituant,

$\left\{{\begin{aligned}&(aA+bB+cC)^{2}\\+&(a'A+b'B+c'C)^{2}\end{aligned}}\right\}-2(aA+bB+cC)(a'A+b'B+c'C)\operatorname {Cos} .2\alpha$

$=\operatorname {Sin} .^{2}2\alpha \,;$

mais d’un autre côté les équations (3) et (4) donnent