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$A={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\quad B={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\quad C={\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\,;$

mettant donc ces valeurs dans cette dernière, et chassant les dénominateurs, nous obtiendrons pour l’équation de la surface conique cherchée,

$\left\{{\begin{aligned}&(ax+by+cz)^{2}\\+&(a'x+b'y+c'z)^{2}\end{aligned}}\right\}-2(ax+by+cz)(a'x+b'y+c'z)\operatorname {Cos} .2\alpha$

$=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}2\alpha .$ (5)

Ainsi, la surface conique dont toutes les génératrices font, avec deux droites fixes passant par son sommet, des angles dont la somme ou la différence est constante, est une surface conique du second ordre. Ces deux droites fixes source que M. Magnus a appelé les lignes focales de la surface conique ; et, par analogie, les deux angles $\theta$ et $\theta '$ peuvent en être dits les angles vecteurs. Il est aisé de voir que, pour une même surface conique de cette nature, c’est la somme ou la différence de ces deux angles qui est constante, suivant que les lignes focales sont prises toutes deux dans une même nappe ou bien l’une dans une nappe et l’autre dans son opposée.

Supposons que les lignes focales, que nous avons supposées quelconques par rapport aux axes des coordonnées, soient toutes deux dans le plan des $xz$ et fassent de différent côtés, avec l’axe des $z,$ des angles égaux que nous désignerons par $\gamma$ ; nous aurons ainsi

${\begin{array}{lll}a=+\operatorname {Sin} .\gamma ,&b=0,&c=\operatorname {Cos} .\gamma ,\\a'=-\operatorname {Sin} .\gamma ,&b'=0,&c'=\operatorname {Cos} .\gamma \,;\end{array}}$

au moyen de quoi l’équation (5), de la surface conique, deviendra simplement

$2x^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma +2z^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\left(x^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -z^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \right)\operatorname {Cos} .2\alpha$

$=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}2\alpha .\qquad$(6)