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Si, pour avoir les traces de la surface conique sur le plan des $yz$, on fait $x=0$, cette équation deviendra

$2z^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma (1-\operatorname {Cos} .2\alpha )=\left(y^{2}+z^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}2\alpha ,$

ou bien encore

$z^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \operatorname {Sin} .^{2}\alpha =\left(y^{2}+z^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .^{2}\alpha ,$

ou encore, en réduisant,

$z^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma =\left(y^{2}+z^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ,$

ce qui donnera

$y^{2}={\frac {\operatorname {Cos} .^{2}\gamma -\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }{\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }}z^{2}\,;$

équation commune aux deux traces qui, comme l’on voit, font, de part et d’autre, des angles égaux avec l’axe des $z$. Désignant par $\beta$ l’un de ces angles, on aura

$\operatorname {Tang} .^{2}\beta ={\frac {\operatorname {Cos} .^{2}\gamma -\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }{\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }}z^{2},$

d’où

$\operatorname {Cos} .^{2}\beta ={\frac {1}{1+\operatorname {Tang} .^{2}\beta }}={\frac {\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }{\operatorname {Cos} .^{2}\gamma }},$

ce qui donne

$\operatorname {Cos} .\alpha =\pm \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma ,$

ce qui lie entre eux les trois angles $\alpha ,\beta ,\gamma .$

En introduisant dans l’équation (6), pour $\operatorname {Sin} .^{2}\gamma$ et $\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,$ leurs valeurs

${\frac {\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }{\operatorname {Cos} .^{2}\beta }}\quad$et$\quad {\frac {\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }{\operatorname {Cos} .^{2}\beta }},$