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donnée par cette dernière équation et remplaçant respectivement $\operatorname {Cos} .2\alpha$ et $\operatorname {Sin} .2\alpha$ par leurs équivalons $\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}\alpha$ et $2\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha ,$ on la réduit facilement à cette forme

$\left({\frac {x}{z\operatorname {Tang} .\alpha }}\right)^{2}+\left({\frac {y}{z\operatorname {Tang} .\beta }}\right)^{2}=1\,;$

or, par un choix convenable des axes, l’équation de toute surface conique du second ordre est aussi réductible à cette forme ; donc réciproquement : toute surface conique du second ordre est le lieu géométrique de toutes les droites qui font, avec deux droites fixes, menées par son sommet, des angles dont la somme ou la différence est constante, suivant qu’on prend ces deux droites dans l’une des nappes ou bien qu’on prend l’une dans une nappe et l’autre dans son opposée. Les deux angles $2\alpha$ et $2\beta$ peuvent être dits les angles diamétraux principaux de la surface conique, et la droite qui divise l’angle de ses lignes focales en deux parties égales peut en être dite l’axe.

L’équation de la surface conique étant sous la forme (5), les axes des coordonnées sont quelconques par rapport à elle ; en conséquence nous pouvons disposer des indéterminées que renferme cette équation pour amener la surface conique à toucher le plan des $xz$ suivant l’axe des $z$. Il faudra pour cela qu’en posant $y=0$ dans cette équation, elle se réduise à $x^{2}=0$ mais elle se réduit alors à

$\left.{\begin{aligned}&\left(a^{2}-2aa'\operatorname {Cos} .2\alpha +a'^{2}-\operatorname {Sin} .^{2}2\alpha \right)x^{2}\\\\&+2\left\{(ac+a'c')-(ac'+ca')\operatorname {Cos} .2\alpha \right\}xz\\\\&+\left(c^{2}-2cc'\operatorname {Cos} .2\alpha +c'^{2}-\operatorname {Sin} .^{2}2\alpha \right)z^{2}\end{aligned}}\right\}=0\,;$

donc, pour que la surface conique touche le plan des $xz$ suivant l’axe des $z$, il faut qu’on ait, à la fois,

$ac+a'c'=(ac'+ca')\operatorname {Cos} .2\alpha ,$