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$c^{2}-2cc'Cos.2\alpha +c'^{2}=Sin.^{2}2\alpha \,;$

éliminant $\alpha$ entre ces deux équations, on aura

$(c^{2}-c'^{2})\left\{a^{2}(1-c'^{2})-a'^{2}(1-c^{2})\right\}=0\,;$

or comme, dans cet état de choses, la situation de la surface conique demeure encore indéterminée, on peut toujours la disposer de telle sorte que $c$ et $c'$ soient inégaux ou que $c^{2}-c'^{2}$ ne soit pas nul ; donc ou doit avoir généralement alors

$a^{2}(1-c'^{2})=a'^{2}(1-c^{2}),$

ou bien

${\frac {a^{2}}{1-c^{2}}}={\frac {a'^{2}}{1-c'^{2}}},$

ou encore (1)

${\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a'^{2}}{a'^{2}+b'^{2}}}\,;$

or, ce sont précisément là les quarrés des cosinus des angles que forment les plans des angles vecteurs avec le plan des $xz$, c’est-à-dire, avec le plan tangent ; et, comme d’ailleurs ces deux plans ne sauraient se confondre, ils doivent faire, avec le plan tangent, des angles supplémens l’un de l’autre, c’est-à-dire, des angles égaux pris de différens côtés. On a donc cette autre proposition :

Les plans tangent et normal à une surface conique du second ordre, suivant une génératrice quelconque, divisent en deux parties égales les quatre angles dièdres que forment, par leur rencontre, les plans des angles vecteurs de cette génératrice^[1].

1. On peut suivre une marche abxolumeot analogue à celle-ci, dans la discussion analytique des propriétés des sections coniques, relativement à leurs