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Si l’on conçoit une sphère de rayon quelconque, ayant même centre que la surface conique, on conclura de ce qui précède les propositions suivantes :

foyers ; comme cette marche n’est pas dépourvue d’une certaine élégance, et comme elle peut offrir un exercice utile aux commençans, nous l’indiquerons ici rapidement.

Soient $(\alpha ,\beta ),\ (\alpha ',\beta ')$ deux points pris arbitrairement sur le plan de deux axes rectangulaires, et proposons-nous d’assigner le lieu géométrique de tous les points $(x,y)$ de ce plan dont la somme ou la différence des distances aux points donnés est égale à une longueur constante $2a.$

Soient $r$ et $r'$ ces deux distances, nous aurons

$r\pm r'=2a\,;$

d’où en quarrant et transposant

$r^{2}+r'^{2}-4a^{2}=\mp 2rr'\,;$

quarrant de nouveau, il viendra

$\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}-8a^{2}\left(r^{2}+r'^{2}\right)+16a^{4}=0\,;$

or, on a

$r^{2}=(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2},\qquad r'^{2}=(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}\,;$

d’où

$r^{2}-r'^{2}=-2(\alpha -\alpha ')x-2(\beta -\beta ')y+\left(\alpha ^{2}-\alpha '^{2}+\beta ^{2}-\beta '^{2}\right),$
$r^{2}+r'^{2}=2x^{2}+2y^{2}-2(\alpha +\alpha ')x-2(\beta +\beta ')y+\left(\alpha ^{2}+\alpha '^{2}+\beta ^{2}+\beta '^{2}\right)\,;$

en substituant donc, nous aurons, pour l’équation du lieu cherché,

$\left.{\begin{array}{lc}&4\left\{(\alpha -\alpha ')^{2}-4a^{2}\right\}x^{2}+4\left\{(\beta -\beta ')^{2}-4a^{2}\right\}y^{2}+8(\alpha -\alpha ')(\beta -\beta ')xy\\\\&-4\left\{(\alpha -\alpha ')\left(\alpha ^{2}-\alpha '^{2}+\beta ^{2}-\beta '^{2}\right)-4(\alpha +\alpha ')a^{2}\right\}x\\\\&-4\left\{(\beta -\beta ')\left(\alpha ^{2}-\alpha '^{2}+\beta ^{2}-\beta '^{2}\right)-4(\beta +\beta ')a^{2}\right\}y\\\\&+\left\{\left(\alpha ^{2}-\alpha '^{2}+\beta ^{2}-\beta '^{2}\right)^{2}-8\left(\alpha ^{2}+\alpha '^{2}+\beta ^{2}+\beta '^{2}\right)a^{2}+16a^{4}\right\}\end{array}}\right\}=0.$ (1)

c’est donc une ligne du second ordre.