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I. Le lieu géométrique de tous les points de la surface d’une sphère dont la somme ou la différence des distances sphériques à deux points fixes de cette sphère est constante, est la courbe à double courbure, intersection de cette sphère avec une surface conique du second ordre, qui a le même centre qu’elle.

Si l’on suppose que les deux points fixes sont sur l’axe des $x$, à une distance $c$ de part et d’autre de l’origine, on aura

$\alpha =c,\quad \alpha '=c,\quad \beta =0,\quad \beta '=0\,;$

au moyen de quoi l’équation (1) deviendra simplement

$\left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right),\qquad$(2)

en y faisant $x=0$ et désignant la valeur correspondante de $y^{2}$ par $\pm b^{2},$ le signe étant choisi de manière à avoir $b$ réel, il viendra

$c^{2}=a^{2}\pm b^{2}\,;$

introduisant cette valeur de $c^{2}$ dans l’équation (2), elle deviendra

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\pm \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1\,;$

et l’on sait que l’équation de toute ligne du second ordre qui a un centre est réductible à cette forme.

Ainsi, le lieu géométrique de tous les points d’un plan dont la somme ou la différence des distances à deux points fixes, pris sur ce plan, est constante, est une ligne du second ordre pourvue d’un centre ; et réciproquement, toute ligne du second ordre pourvue d’un centre est un pareil lieu.

La courbe exprimée par l’équation (1) étant quelconque par rapport aux axes, nous pourrons profiter des indéterminées que renferme cette équation pour amener cette courbe à toucher l’axe des $x$ à l’origine. Il faudra pour cela qu’en faisant $y=0$ dans l’équation (1) elle se réduise à $x^{2}=0\,;$ or, elle devient ainsi