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Réciproquement : toute courbe à double courbure, intersection d’une sphère avec une surface conique du second ordre de même centre, est le lieu géométrique de tous les points de cette sphère dont la somme ou la différence des distances sphériques à deux points fixes de sa surface est une quantité constante.

$\left.{\begin{array}{lc}&4\left\{(\alpha -\alpha ')^{2}-4a^{2}\right\}x^{2}\\\\&-4\left\{(\alpha -\alpha ')\left(\alpha ^{2}-\alpha '^{2}+\beta ^{2}-\beta '^{2}\right)-4(\alpha +\alpha ')a^{2}\right\}x\\\\&+\left\{\left(\alpha ^{2}-\alpha '^{2}+\beta ^{2}-\beta '^{2}\right)^{2}-8\left(\alpha ^{2}+\alpha '^{2}+\beta ^{2}+\beta '^{2}\right)a^{2}+16a^{4}\right\}\end{array}}\right\}=0\,;$

afin donc que l’axe des $x$ soit tangent à la courbe à l’origine, il faudra qu’on ait, à la fois,

${\begin{array}{lc}&(\alpha -\alpha ')\left(\alpha ^{2}-\alpha '^{2}+\beta ^{2}-\beta '^{2}\right)=4(\alpha +\alpha ')a^{2},\\\\&\left(\alpha ^{2}-\alpha '^{2}+\beta ^{2}-\beta '^{2}\right)^{2}-8\left(\alpha ^{2}+\alpha '^{2}+\beta ^{2}+\beta '^{2}\right)a^{2}+16a^{4}=0\,;\end{array}}$

éliminant $a$ entre ces deux équations, l’équation résultante pourra être mise sous cette forme

$\left(\alpha ^{2}\beta '^{2}-\alpha '^{2}\beta ^{2}\right)\left(\alpha ^{2}-\alpha '^{2}+\beta ^{2}-\beta '^{2}\right)=0,$

ou sous celle-ci

$\left(r^{2}-r'^{2}\right)\left(\alpha ^{2}\beta '^{2}-\alpha '^{2}\beta ^{2}\right)=0.$

Or comme, avec ces conditions même, la situation de la courbe demeure encore indéterminée, on peut toujours faire en sorte que $r$ et $r'$ soient inégaux, ou que $r^{2}-r'^{2}$ ne soit pas nul ; donc on doit avoir généralement alors

$\alpha ^{2}\beta '^{2}=\alpha '^{2}\beta ^{2},\quad$ou bien$\quad {\frac {\beta ^{2}}{\alpha ^{2}}}={\frac {\beta '^{2}}{\alpha '^{2}}}\,;$

or, ce sont précisément là les quarrés des tangentes tabulaires des angles que font les deux rayons vecteurs de l’origine avec l’axe des $x$, c’est-à-dire, des angles que font les deux rayons vecteurs d’un point de la courbe avec