Cette courbe à double courbure est constamment composée de deux parties entièrement fermées, extérieures l’une à l’autre, contenant chacune deux foyers ; elle peut être dite ellipse ou hyperbole sphérique, suivant qu’on choisit les deux foyers dans l’une de ces deux parties ou qu’au contraire on en prend un dans chacune. On conçoit d’ailleurs qu’il ne saurait y avoir ici de parabole.
II. Les arcs de grands cercles tangent et normal en un quelconque des points de l’ellipse ou de l’hyperbole sphérique divisent en deux parties égales les quatre angles formés par les deux arcs vecteurs de ce point.
On pourra donc décrire une ellipse ou une hyperbole sphérique, soit par points soit d’un mouvement continu ; on pourra lui mener une tangente ou une normale par l’un des points de son périmètre, ou encore lui mener des tangentes par un point extérieur, par des procédés tout à fait analogues aux procédés de géométrie plane à l’aide desquels on résout les mêmes problèmes par rapport aux sections coniques.
Si l’on suppose que le rayon de la sphère croît jusqu’à devenir infini, on retombera sur toutes les propriétés connues des sections coniques pourvues de centre ; d’où, en supposant ensuite que le grand axe devient infini, on passera à celles de la parabole. La courbe sphérique à double courbure deviendra d’ailleurs ellipse ou hyperbole, suivant que le plan tangent avec lequel la surface de la sphère tendra à se confondre aura son point de contact au centre de la courbe sphérique considérée comme ellipse, ou, au con-
sa tangente en ce point ; et, comme d’ailleurs ces deux angles ne sauraient être égaux, il s’ensuit qu’ils doivent être supplément l’un de l’autre ou qu’ils doivent être égaux de différens côtés.
Ainsi, dans toute ligne du second ordre pourvue d’un centre, la tangente et la normale en un point quelconque divisent en deux parties égales les quatre angles formés par les deux rayons de ce point.
