mais on a aussi, quel que soit ![{\displaystyle Q,\ AC=BC,\ A'C'=B'C',\ A''C''=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb3301e31c6b0923723b116c5053ac71ccc96ff)
et, par conséquent,
![{\displaystyle AC+A'C'+A''C''=BC+B'C'+B''C''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f2199f49d69b2667ba23e145ceb74eaa938e30)
donc, en ajoutant, on devra avoir aussi, quel que soit ![{\displaystyle Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4000165887f03a10c30d085c2bf26ec3af8d5b0)
![{\displaystyle (PA+AC)+(PA'+A'C')+(PA''+A''C'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2986dbe67187de158372a0c62e9eb9ca9329d258)
![{\displaystyle <(QB+BC)+(QB'+B'C')+(QB''+B''C''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c1ef788c0b60091620b5de6f284f99c1a7afdc)
ou plus simplement
![{\displaystyle PC+PC'+PC''<QC+QC'+QC''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c654ba5355e1a77c8e56a75ab9dc63bfd44d69e7)
ce qui nous apprend que la somme des distances sphériques du point cherché
aux pôles des trois cercles doit être la moindre possible.
Supposons donc qu’il en soit ainsi, et soit décrite une ellipse sphérique ayant les points
et
pour foyers et passant par le point
en supposant le point
sur le périmètre de cette ellipse, on aura
![{\displaystyle PC'+PC''=QC'+QC''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a1d2f8109ff8b1f5375f1f2063448b9714c9cd)
d’où il sait, en retranchant, qu’on devra avoir
![{\displaystyle PC<QC\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3308e5a3337d3d3436384f05b533f4e6bcac6c9a)
donc
devra être normal à l’ellipse sphérique en
et devra conséquemment diviser en deux parties égales l’angle
des deux rayons vecteurs
et
Or, comme on pourrait raisonner tour à tour sur chacun des points
et
comme nous venons de le faire sur le point
il s’ensuit que chacun des arcs
doit diviser en deux parties égales l’angle formé par les deux autres ; ce qui revient à dire que ces trois arcs doivent former des angles égaux autour du point
On a donc le théorème général que voici :