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$\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}=\operatorname {d} s^{2},\qquad$(7)

il s’ensuit qu’en considérant $s$ comme la variable indépendante, on aura

$\operatorname {d} x.\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}+\operatorname {d} y.\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}+\operatorname {d} z.\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0.\qquad$(8)

En outre, parce que la normaleàla surface $S,$ en $(x,y,z)$, est perpendiculaire à la tangente à la chaînette, en ce même point, on aura

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\operatorname {Cos} .\alpha +{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\operatorname {Cos} .\beta +{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\operatorname {Cos} .\gamma =0.\qquad$(9)

Enfin, l’équation (7) donne, en divisant par $\operatorname {d} s$

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} z=\operatorname {d} s.\qquad$(10)

Cela posé, si l’on prend la somme des produits respectifs des équations (6) par $(\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z),$ en ayant égard aux relations (8), (9), (10), il viendra, en divisant par $\operatorname {d} s,$

$\operatorname {d} T=\operatorname {d} z,$

d’où

$T=z+A\,;\qquad$(11)

$A$ étant une constante arbitraire. Ainsi la tension $T$ au point $(x,y,z)$ est tout à fait indépendante de la longueur de l’arc de la chaînette compris depuis ce point jusqu’au point le plus bas ; de cette courbe, ainsi que de la surface sur laquelle elle est située ; cette tension ne dépend uniquement que de la distance verticale entre ces deux points, c’est-à-dire, de la distance entre les plans horizontaux qui les contiennent respectivement.