![{\displaystyle \operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}=\operatorname {d} s^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a4b6d39008a8d3c37cace7d43d1e8d06bfa5d9)
(7)
il s’ensuit qu’en considérant
comme la variable indépendante, on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} x.\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}+\operatorname {d} y.\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}+\operatorname {d} z.\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb07e747135900ba82de8023658a927d4d11366)
(8)
En outre, parce que la normaleàla surface
en
, est perpendiculaire à la tangente à la chaînette, en ce même point, on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\operatorname {Cos} .\alpha +{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\operatorname {Cos} .\beta +{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\operatorname {Cos} .\gamma =0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139296c71dff028d6702d505fa95b178ecad2ec4)
(9)
Enfin, l’équation (7) donne, en divisant par ![{\displaystyle \operatorname {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1866d07ec146ed0c8621283337f4adeec9fe889f)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} z=\operatorname {d} s.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96aacd42eed8516df835465991005f63808a0d6c)
(10)
Cela posé, si l’on prend la somme des produits respectifs des équations (6) par
en ayant égard aux relations (8), (9), (10), il viendra, en divisant par
![{\displaystyle \operatorname {d} T=\operatorname {d} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88aec49882a2cf98be49de34ee33a5d1f12e8562)
d’où
![{\displaystyle T=z+A\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34100d4a0b48319265242b7c6e3f4930cc3a46a)
(11)
étant une constante arbitraire. Ainsi la tension
au point
est tout à fait indépendante de la longueur de l’arc de la chaînette compris depuis ce point jusqu’au point le plus bas ; de cette courbe, ainsi que de la surface sur laquelle elle est située ; cette tension ne dépend uniquement que de la distance verticale entre ces deux points, c’est-à-dire, de la distance entre les plans horizontaux qui les contiennent respectivement.