Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/167

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}+(z+A){\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} s^{2}}}-N\operatorname {Cos} .\alpha =0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}+(z+A){\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} s^{2}}}-N\operatorname {Cos} .\beta =0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}+(z+A){\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}-N\operatorname {Cos} .\gamma =1.\end{aligned}}\right\}.$ (13)

Pour tirer facilement de ces équations la valeur de la pression normale $N,$ au point $(x,y,z)$, nous prendrons la somme de leurs produits respectifs par $P,Q,R\,;$ ce qui donnera, en ayant égard aux relations (4) et (5),

$(z+A)\left(P{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} s^{2}}}+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} s^{2}}}+R{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}\right)-{\frac {N}{V}}=R\,;$

d’où on tirera

$N=V\left\{(z+A)\left(P{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} s^{2}}}+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} s^{2}}}+R{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}\right)-R\right\},$

ou encore

$N={\frac {(z+A)\left(P{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} s^{2}}}+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} s^{2}}}+R{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}\right)-R}{\sqrt {P^{2}+Q^{2}+R^{2}}}}.\qquad$(14)

En substituant cette valeur, ainsi que la valeur (3) de $\operatorname {Cos} .\gamma ,$ dans la dernière des équations (13), nous obtiendrons, pour l’équation différentielle du second ordre d’une surface qui doit couper la surface $S$ suivant la chaînette cherchée,

$R=(z+A)\left(P{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} s^{2}}}+Q{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} s^{2}}}\right)$

$=\left(P^{2}+Q^{2}\right)\left\{(z+A){\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}-1\right\}+\left(P^{2}+Q^{2}+R^{2}\right)\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}.\quad$(15)