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$(z+A){\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=Cos.^{2}\omega .\qquad$(21)

L’équation (20) nous apprend que la pression sur le plan incliné est constante en tous les points de la chaînette, et que, pour une unité de longueur de cette courbe, elle est égale à l’unité de poids multipliée par le cosinus de l’inclinaison de ce plan à l’horizon.

L’équation (21) revient à

${\frac {\operatorname {d} \left\{(z+A){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right\}}{\operatorname {d} s}}=\operatorname {Cos} .^{2}\omega ,$

ce qui donne, en intégrant,

$(z+A){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=s\operatorname {Cos} .^{2}\omega +B\operatorname {Cos} .\omega ,$

$B$ étant une constante arbitraire. On tire de là, en multipliant par $2\operatorname {d} s$ et intégrant de nouveau

$(z+A)^{2}=s^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega +2Bs\operatorname {Cos} .\omega +C,$

$C$ étant une nouvelle constante.

De cette dernière équation on tire

$s\operatorname {Cos} .\omega =-B\pm {\sqrt {(z+A)^{2}-\left(C-B^{2}\right)}}\,;$

d’où, en différentiant,

$\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .\omega =\pm {\frac {(z+A)\operatorname {d} z}{\sqrt {(z+A)^{2}-\left(C-B^{2}\right)}}}\,;$

et, en quarrant,

$\operatorname {d} s^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega ,\quad$c’est-à-dire

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}\omega ={\frac {(z+A)^{2}\operatorname {d} z^{2}}{(z+A)^{2}-\left(C-B^{2}\right)}}\,;$