ou encore, en remplaçant (19)
par ![{\displaystyle \operatorname {d} z^{2}Sin.^{2}\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095d6e9e0aead73cf22083c593d0c7fd0bedf70d)
![{\displaystyle \operatorname {d} x^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega +\operatorname {d} z^{2}={\frac {(z+A)^{2}\operatorname {d} z^{2}}{(z+A)^{2}-\left(C-B^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fceb2411badd67d815fedb2ec963e17d913daa38)
ce qui donne,
![{\displaystyle \operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\omega ={\sqrt {C-B^{2}}}{\frac {\operatorname {d} z}{\sqrt {(z+A)^{2}-\left(C-B^{2}\right)}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e6af36f80ca64c4ed0f821a621fd36fb947c0a)
telle est donc l’équation différentielle de la projection de la chaînette sur le plan des
.
Si l’on veut que l’axe des
soit tangent au point le plus bas, il faudra qu’à
réponde
, ce qui donnera
; au moyen de quoi l’équation deviendra
![{\displaystyle \operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\omega ={\frac {A\operatorname {d} z}{\sqrt {(z+A)^{2}-A^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b539a9a41711341cab29d927e439724f8197a4db)
mais alors (12) on aura
d’où
ce qui donne,
![{\displaystyle \operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\omega ={\frac {a\operatorname {d} z}{\sqrt {(z+a)^{2}-a^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1bdd715585b064db625b82c35b0bf3c742ef8c9)
ce qui donnera, et en intégrant de nouveau,
![{\displaystyle e^{\frac {x\operatorname {Cos} .\omega }{a}}={\frac {z+a+{\sqrt {(z+a)^{2}-a^{2}}}}{D}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f632219c7cbb6cff89895f8058b2532971f06e14)
étant une nouvelle constante. Si l’on veut en outre que le point le plus bas soit l’origine même des coordonnées, il faudra que
et
soient nuls en même temps, ce qui donnera
et, par suite,
![{\displaystyle a.e^{\frac {x\operatorname {Cos} .\omega }{a}}=z+a+{\sqrt {(z+a)^{2}-a^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473e77f99f981fc44ea11b01808499881c8d698e)