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ou encore, en remplaçant (19) $\operatorname {d} y^{2}Cos.^{2}\omega$ par $\operatorname {d} z^{2}Sin.^{2}\omega ,$

$\operatorname {d} x^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega +\operatorname {d} z^{2}={\frac {(z+A)^{2}\operatorname {d} z^{2}}{(z+A)^{2}-\left(C-B^{2}\right)}},$

ce qui donne,

$\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\omega ={\sqrt {C-B^{2}}}{\frac {\operatorname {d} z}{\sqrt {(z+A)^{2}-\left(C-B^{2}\right)}}}\,;$

telle est donc l’équation différentielle de la projection de la chaînette sur le plan des $xz$.

Si l’on veut que l’axe des $x$ soit tangent au point le plus bas, il faudra qu’à $z=0$ réponde ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0$, ce qui donnera $C-B^{2}=A^{2}$ ; au moyen de quoi l’équation deviendra

$\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\omega ={\frac {A\operatorname {d} z}{\sqrt {(z+A)^{2}-A^{2}}}}\,;$

mais alors (12) on aura $c=0$ d’où $A=a,$ ce qui donne,

$\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\omega ={\frac {a\operatorname {d} z}{\sqrt {(z+a)^{2}-a^{2}}}}\,;$

ce qui donnera, et en intégrant de nouveau,

$e^{\frac {x\operatorname {Cos} .\omega }{a}}={\frac {z+a+{\sqrt {(z+a)^{2}-a^{2}}}}{D}},$

$D$ étant une nouvelle constante. Si l’on veut en outre que le point le plus bas soit l’origine même des coordonnées, il faudra que $x$ et $z$ soient nuls en même temps, ce qui donnera $D=a,$ et, par suite,

$a.e^{\frac {x\operatorname {Cos} .\omega }{a}}=z+a+{\sqrt {(z+a)^{2}-a^{2}}}\,;$