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équation qui, résolue par rapport à $z+a,$ donne finalement

$2(z+a)=a\left\{e^{\frac {x\operatorname {Cos} .\omega }{a}}+e^{-{\frac {x\operatorname {Cos} .\omega }{a}}}\right\}\,;\qquad$(22)

telle est donc l’équation primitive de la projection de la chaînette sur le plan vertical des $xz$. Si l’on suppose $\omega =0,$ d’où $\operatorname {Cos} .\omega =1,$ elle devient

$2(z+a)=a\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right),$

c’est-à-dire, celle de là chaînette ordinaire, comme cela doit être^[1].

Pour deuxième application, supposons que la chaînette soit située sur une surface cylindrique quelconque, ayant ses élémens rectilignes verticaux, et conséquemment parallèles à l’axe des $z$ alors la coordonnée $z$ n’entrera pas dans $S$, de sorte qu’on aura

$R={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}=0,$

1. En considérant que la pesanteur le long d’un plan incliné n’est autre que la pesanteur dans un plan vertical multipliée par le sinus de l’inclinaison du plan, on pourrait parvenir directement à l’équation différentielle de la chaînette sur un plan incliné quelconque ; on en conclurait ensuite l’équation différentielle de la chaînette sur une surface courbe quelconque, en considérant qu’en chacun de ses points, cette chaînette se trouve située sur le plan tangent à la surface courbe en ce point. On pourrait aussi obtenir l’équation de la chaînette située sur une surface courbe, en se proposant de tracer, sur cette surface, une courbe telle que la distance de son centre de gravité au plan des $xy$ fût la moindre possible ; ce qui offrirait une application intéressante de la méthode des variations.
   J. D. G.