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$z(z+A){\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}+(2z+A)\left\{\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}-\operatorname {Cos} .^{2}\omega \right\}=0.\qquad$(32)

On peut mettre la dernière sous cette forme

$(2z+A){\sqrt {\operatorname {Cos} .^{2}\omega -\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}}}-z(z+A){\frac {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}{\sqrt {\operatorname {Cos} .^{2}\omega -\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}}}}=0\,;$

ou, en multipliant par $\operatorname {d} z,$

${\sqrt {\operatorname {Cos} .^{2}\omega -\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}}}.\operatorname {d} .z(z+A)+z(z+A).\operatorname {d} .{\sqrt {\operatorname {Cos} .^{2}\omega -\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}}}=0\,;$

ou bien encore

$\operatorname {d} \left\{z(z+A){\sqrt {\operatorname {Cos} .^{2}\omega -\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}}}\right\}=0\,;$

ce qui donne, en intégrant,

$z(z+A){\sqrt {\operatorname {Cos} .^{2}\omega -\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}}}=E,$

$E$ étant une constante arbitraire. En désignant toujours par $c$ la coordonnée verticale du point le plus bas de la chaînette, il faudra qu’à $z=c$ réponde ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0,$ ce qui donnera

$c(c+A)\operatorname {Cos} .\omega =E,$

ou bien (12)

$E=ac\operatorname {Cos} .\omega ,$

de sorte que l’intégrale deviendra