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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$z+A={\frac {ASin.\omega +{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}Cos.\omega }{Sin.\omega }}\,;$

il viendra donc, en substituant,

$\left(x^{2}+y^{2}\right)\left\{A\operatorname {Sin} .\omega +{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\operatorname {Cos} .\omega \right\}^{2}\times$

$\left\{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}\right)-(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)^{2}\right\}\operatorname {Cos} .^{2}\omega$

$=a^{2}c^{2}\left\{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\omega +(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega \right\}\operatorname {Sin} .^{2}\omega \,;$

et telle est l’équation differentielle de la projection de la chaînette sur le plan des $xy.$

Si, pour passer aux coordonnées polaires nous posons

$x=r\operatorname {Sin} .\theta ,\qquad y=r\operatorname {Cos} .\theta ,$

il en résultera

$\operatorname {d} x=\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .\theta +r\operatorname {d} \theta \operatorname {Cos} .\theta ,\qquad \operatorname {d} y=\operatorname {d} r\operatorname {Cos} .\theta -r\operatorname {d} \theta \operatorname {Sin} .\theta ,$

$x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad \operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}=\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2},\qquad x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y=r\operatorname {d} r\,;$

ce qui donnera, en substituant,

$r^{4}(A\operatorname {Sin} .\omega +r\operatorname {Cos} .\omega )^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega =a^{2}c^{2}\left(\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\omega \right)\operatorname {Sin} .^{2}\omega \,;$

équation d’où on tirera

$\operatorname {d} \theta ={\frac {ac\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .\omega }{r{\sqrt {(A\operatorname {Sin} .\omega +r\operatorname {Cos} .\omega )^{2}r^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega -a^{2}c^{2}\operatorname {Sin} .^{4}\omega }}}}.$

Il ne paraît pas que cette valeur soit généralement intégrable sous forme finie.

En conséquence nous nous bornerons à considérer le cas où $A=0$ et $c=a\,;$ il vient alors

$\operatorname {d} \theta ={\frac {a^{2}\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .\omega }{r{\sqrt {r^{4}\operatorname {Cos} .^{4}\omega -a^{4}\operatorname {Sin} .^{4}\omega }}}}.$

ce qui donne en intégrant,