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$2(\theta +F)\operatorname {Sin} .\omega =\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\omega }{r^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega }}\right),$

$F$ étant la constante arbitraire. Pour la déterminer, on remarquera que, pour la projection du point le plus bas sur le plan des $xy,\ \theta$ est nul, et qu’on doit avoir alors

$r=a{\frac {\operatorname {Sin} .\omega }{\operatorname {Cos} .\omega }},$

cela donne $F=0,$ de sorte qu’on a simplement, pour l’équation polaire demandée,

$2\theta \operatorname {Sin} .\omega =\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\omega }{r^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega }}\right),\qquad$(36)

ce qui donne, pour $r$ infini,

$\theta =\pm {\frac {\omega }{4\operatorname {Sin} .\omega }}\,;$

c’est donc là la moitié de l’angle que font entre elles les projections des asymptotes de la chaînette, dans ce cas.

Il nous sera facile, dans ce même cas, de connaître la nature de la courbe décrite par la chaînette sur le développement du cône. Soit $R$ le rayon vecteur de cette courbe, duquel, est la projection, et soit $\Theta$ l’angle du développement du cône qui répond à l’angle $\theta ,$ nous aurons

$r={\frac {R}{\operatorname {Sin} .\omega }},\qquad \theta ={\frac {\Theta }{\operatorname {Sin} .\omega }}\,;$

substituant donc dans l’équation (35), elle deviendra

$2\Theta =\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{4}\omega }{R^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega }}\right),$

ou bien