![{\displaystyle a^{2}\operatorname {Sin} .^{4}\omega =R^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega \operatorname {Cos} .2\Theta =R^{2}\left(\operatorname {Cos} .^{2}\Theta -\operatorname {Sin} .^{2}\Theta \right)\operatorname {Cos} .^{2}\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbead17281ce13a10cde057a9c215e2663c63937)
Si, pour avoir des coordonnées rectangulaires, on pose
![{\displaystyle R\operatorname {Sin} .\Theta =X,\qquad R\operatorname {Cos} .\Theta =Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3e361a45245c04fa76e4d92bd5313ce692858c)
il viendra, en substituant,
![{\displaystyle \left(Y^{2}-X^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}\omega =a^{2}\operatorname {Sin} .^{4}\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18112d80c028e09f038f26847ccbb8534fb49a9c)
équation dïine hyperbole équilatère quel que soit d’ailleurs l’angle générateur du cône.
Pour dernière application, supposons que la chaînette soit posée sur une sphère donnée par l’équation
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3769182b7f91fd1573c992aaf7a851441a91a16)
(37)
ce qui donne, par deux différentations,
![{\displaystyle x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y+z\operatorname {d} z=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f10ccffdd322a9eb9d586799ea2be1fc238759)
(38)
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} s^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} s^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}+1=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/418eeec03e2a97c17e4d06fc050a4d229389e7f8)
(39)
et, par suite,
![{\displaystyle P=x\qquad Q=y,\qquad R=z,P^{2}+Q^{2}=x^{2}+y^{2}=r^{2}-z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e740a6acb4b31d96d393f20ec4764be82bb00bb8)
![{\displaystyle P^{2}+Q^{2}+R^{2}=r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2a5313e66b5073dbea848cba5f241cd40ca2ce)
à l’aide de ces divers résultats, les formules (14) et (15) deviennent
![{\displaystyle N=-{\frac {2z+A}{r}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d1e70b9c8553a471fec6d5a4408a0022c40188)
(40)
![{\displaystyle r^{2}(z+A){\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}+r^{2}\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}+z(2z+A)=r^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1ea862a0376d125f6114f4e280fcbe3284ea32)
(41)