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$a^{2}\operatorname {Sin} .^{4}\omega =R^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\omega \operatorname {Cos} .2\Theta =R^{2}\left(\operatorname {Cos} .^{2}\Theta -\operatorname {Sin} .^{2}\Theta \right)\operatorname {Cos} .^{2}\omega .$

Si, pour avoir des coordonnées rectangulaires, on pose

$R\operatorname {Sin} .\Theta =X,\qquad R\operatorname {Cos} .\Theta =Y,$

il viendra, en substituant,

$\left(Y^{2}-X^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}\omega =a^{2}\operatorname {Sin} .^{4}\omega \,;$

équation dïine hyperbole équilatère quel que soit d’ailleurs l’angle générateur du cône.

Pour dernière application, supposons que la chaînette soit posée sur une sphère donnée par l’équation

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\qquad$(37)

ce qui donne, par deux différentations,

$x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y+z\operatorname {d} z=0,\qquad$(38)

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} s^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} s^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}+1=0,\qquad$(39)

et, par suite,

$P=x\qquad Q=y,\qquad R=z,P^{2}+Q^{2}=x^{2}+y^{2}=r^{2}-z^{2},$

$P^{2}+Q^{2}+R^{2}=r^{2}\,;$

à l’aide de ces divers résultats, les formules (14) et (15) deviennent

$N=-{\frac {2z+A}{r}},\qquad$(40)

$r^{2}(z+A){\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}+r^{2}\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}+z(2z+A)=r^{2}.\qquad$(41)