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La formule (39) prouve que, toutes choses égales d’ailleurs, la pression est en raison inverse du rayon de la sphère. Dans le cas particulier de $A=0$ ou $c=a,$ on a $N=-{\frac {2z}{r}}$, de sorte que la pression est proportionnelle à l’élévation de chaque point de la chaînette au-dessus du plan du grand cercle horizontal ; elle est à son maximum au pôle de ce cercle, où elle est égale à $2$. c’est-à-dire au double du poids d’une unité de longueur de la chaînette.

Dans le même cas particulier, l’équation (41} devient simplement

$z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}={\frac {r^{2}-2z}{r^{2}}},$

ou bien

$r^{2}\operatorname {d} \left\{{\frac {\operatorname {d} \left(r^{2}-2z^{2}\right)}{\operatorname {d} s}}\right\}^{2}+4\operatorname {d} .\left(r^{2}-2z^{2}\right)^{2}=0\,;$

ce qui donne, par une première intégration,

$r^{2}\left\{{\frac {\operatorname {d} \left(r^{2}-2z^{2}\right)}{\operatorname {d} s}}\right\}^{2}+4\left(r^{2}-2z^{2}\right)^{2}=G.$

On déterminera la constante $G,$ en observât qu’à ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}$ ou ${\frac {\operatorname {d} \left(r^{2}-2z^{2}\right)}{\operatorname {d} s}}=0$ doit répondre $z=c\,;$ ce qui donne

$4\left(r^{2}-2c^{2}\right)^{2}=G,$

et, par suite,

$r^{2}\left\{{\frac {\operatorname {d} \left(r^{2}-2z^{2}\right)}{\operatorname {d} s}}\right\}^{2}=4\left\{\left(r^{2}-2c^{2}\right)^{2}-\left(r^{2}-2z^{2}\right)^{2}\right\}\,;$

puis, en extrayant les racines,

${\frac {2\operatorname {d} s}{r}}={\frac {-\operatorname {d} \left(r^{2}-2z^{2}\right)}{\sqrt {\left(r^{2}-2c^{2}\right)^{2}-\left(r^{2}-2z^{2}\right)^{2}}}}\,;$

ce qui donne, en intégrant,