La formule (39) prouve que, toutes choses égales d’ailleurs, la pression est en raison inverse du rayon de la sphère. Dans le cas particulier de
ou
on a
, de sorte que la pression est proportionnelle à l’élévation de chaque point de la chaînette au-dessus du plan du grand cercle horizontal ; elle est à son maximum au pôle de ce cercle, où elle est égale à
. c’est-à-dire au double du poids d’une unité de longueur de la chaînette.
Dans le même cas particulier, l’équation (41} devient simplement
![{\displaystyle z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} s^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}={\frac {r^{2}-2z}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc6dc3e9234dd50957f247c9f7e9ee3388ece0f)
ou bien
![{\displaystyle r^{2}\operatorname {d} \left\{{\frac {\operatorname {d} \left(r^{2}-2z^{2}\right)}{\operatorname {d} s}}\right\}^{2}+4\operatorname {d} .\left(r^{2}-2z^{2}\right)^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277c54915f32ab5de5dca1c2bd0bbd1680165c79)
ce qui donne, par une première intégration,
![{\displaystyle r^{2}\left\{{\frac {\operatorname {d} \left(r^{2}-2z^{2}\right)}{\operatorname {d} s}}\right\}^{2}+4\left(r^{2}-2z^{2}\right)^{2}=G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e5f94c90b52a68ba9f83ed6a715a5e8de5ddf2)
On déterminera la constante
en observât qu’à
ou
doit répondre
ce qui donne
![{\displaystyle 4\left(r^{2}-2c^{2}\right)^{2}=G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8b360f2c7c6fdb902a2fab9a2392be9c3b6663)
et, par suite,
![{\displaystyle r^{2}\left\{{\frac {\operatorname {d} \left(r^{2}-2z^{2}\right)}{\operatorname {d} s}}\right\}^{2}=4\left\{\left(r^{2}-2c^{2}\right)^{2}-\left(r^{2}-2z^{2}\right)^{2}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6a6886c1ccabd4454d0ab7d1358d5c768d4b3f)
puis, en extrayant les racines,
![{\displaystyle {\frac {2\operatorname {d} s}{r}}={\frac {-\operatorname {d} \left(r^{2}-2z^{2}\right)}{\sqrt {\left(r^{2}-2c^{2}\right)^{2}-\left(r^{2}-2z^{2}\right)^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18820793d63647c6a81e3d2d7c13674e03552af)
ce qui donne, en intégrant,