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on demande quelles seront alors les lois de son mouvement vertical, abstraction faite de la résistance du liquide^[1] ?

Solution. En coupant le vase à une distance quelconque $z$ d’un point fixe de son axe, par un plan horizontal, on obtiendra une section circulaire dont le rayon $R$ sera une fonction de $z\,;$ la surface de celle section sera $\varpi R^{2},$ et l’élément de la capacité du vase $\varpi R^{2}\operatorname {d} z$ ; de sorte que la poition de cette capacité, comprise entre deux plans horizontaux quelconques, sera égale à l’intégrale $\varpi \int R^{2}\operatorname {d} z,$ prise entre ces mêmes plans.

En coupant le corps flottant à une distance quelconque $z$ d’un point fixe de son axe, par un plan horizontal, on obtiendra une section circulaire, dont le rayon $r$ sera une fonction de $z\,;$ la surface de cette section sera $\varpi r^{2}$, et l’élément du volume du corps flottant $\varpi r^{2}\operatorname {d} z$ ; de sorte que la portion de ce volume, comprise entre deux plans horizontaux quelconques, sera égale à l’intégrale $\varpi \int r^{2}\operatorname {d} z$ prise, entre ces mêmes plans.

Prenons, pour point de départ des $z$ tant pour le vase que pour le corps flottant, le point ou leur axe commun est coupé par le plan, de la surface supérieure du liquide, dans l’état naturel d’équilibre, et supposons qu’à l’époque quelconque $t,$ le corps flottant se trouve abaissé au-dessous de cette situation d’une quantité $x.$ Soit $X$ l’élévation correspondante du liquide dans le vase, au-dessus de son niveau primitif ; $x$ et $X$ seront deux fonctions de la variable $t,$ et néanmoins il devra y avoir entre ces deux quantités une relation indépendante de cette variable et résultant uniquement de l’incompressibilité du liquide et de l’impénétrabilité de la matière. Cherchons d’abord cette relation.

À l’époque $t,$ la portion du volume du corps flottant passée au-

1. M. Le Barbier signale ce problème comme ayant été proposé dans les Annales, nous n’avons pu découvrir en quel endroit.
   J. D. G.