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dessous du plan de niveau, primitif du liquide sera évidemment $\varpi \int _{x}^{0}r^{2}\operatorname {d} z.$ À la même époque, le volume de liquide, parvenu au-dessus de ce même plan, sera $\varpi \int _{X}^{0}R^{2}\operatorname {d} z-\varpi \int _{x+X}^{x}r^{2}\operatorname {d} z.$ Or ces deux volumes doivent visiblement être égaux ; on aura donc en divisant par $\varpi$

$\int _{X}^{0}R^{2}\operatorname {d} z-\int _{x+X}^{x}r^{2}\operatorname {d} z=\int _{x}^{0}r^{2}\operatorname {d} z.$

En remarquant d’ailleurs que

$\int _{x+X}^{x}r^{2}\operatorname {d} z=\int _{x+X}^{0}r^{2}\operatorname {d} z-\int _{x}^{0}r^{2}\operatorname {d} z,$

cette équation se réduira simplement à

$\int _{X}^{0}R^{2}\operatorname {d} z=\int _{x+X}^{0}r^{2}\operatorname {d} z,\qquad$(1)

et telle est l’équation dont l’intégration donnera, dans chaque cas particulier, la relation demandée entre les deux variables $x$ et $X.$

Cherchons présentement l’équation du mouvement vertical du corps flottant, et, pour cela, calculons la force accélératrice pour l’époque $t.$ Soit $V$ le volume de la partie submergée du corps flottant, dans l’état primitif d’équilibre de ce corps ; $V$ sera aussi le volume du liquide déplacé à la même époque ; de sorte qu’en désignant par $\delta$ la densité du liquide, $\delta V$ sera la masse du liquide déplacé, dans l’état primitif d’équilibre. En représentant donc, à l’ordinaire, par $g$ la gravité, le poids du liquide déplacé sera $g\delta V.$ Mais y en représentant par $M$ la masse du corps flottant, son poids sera $gM$ ; on devra donc avoir suivant les lois de l’hydrostatique, et en divisant par $g,$

$\delta V=M.$

À l’époque $t,$ le volume du liquide déplacé sera augmenté de $\varpi \int _{x+X}^{0}r^{2}\operatorname {d} z,$ de sorte que ce volume sera alors