dessous du plan de niveau, primitif du liquide sera évidemment
À la même époque, le volume de liquide, parvenu au-dessus de ce même plan, sera
Or ces deux volumes doivent visiblement être égaux ; on aura donc en divisant par ![{\displaystyle \varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50d258418b5fa150a86b58f8d5eb40613e3ebf7)
![{\displaystyle \int _{X}^{0}R^{2}\operatorname {d} z-\int _{x+X}^{x}r^{2}\operatorname {d} z=\int _{x}^{0}r^{2}\operatorname {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a75c66a38d4e24adc4055c7f9c52eb80e3349a)
En remarquant d’ailleurs que
![{\displaystyle \int _{x+X}^{x}r^{2}\operatorname {d} z=\int _{x+X}^{0}r^{2}\operatorname {d} z-\int _{x}^{0}r^{2}\operatorname {d} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b15946e80a9a92614894094a83ba10472134b3)
cette équation se réduira simplement à
![{\displaystyle \int _{X}^{0}R^{2}\operatorname {d} z=\int _{x+X}^{0}r^{2}\operatorname {d} z,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751c79a590dec50897662d1268d1a12e51774866)
(1)
et telle est l’équation dont l’intégration donnera, dans chaque cas particulier, la relation demandée entre les deux variables
et ![{\displaystyle X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba76c5a460c4a0bb1639a193bc1830f0a773e03)
Cherchons présentement l’équation du mouvement vertical du corps flottant, et, pour cela, calculons la force accélératrice pour l’époque
Soit
le volume de la partie submergée du corps flottant, dans l’état primitif d’équilibre de ce corps ;
sera aussi le volume du liquide déplacé à la même époque ; de sorte qu’en désignant par
la densité du liquide,
sera la masse du liquide déplacé, dans l’état primitif d’équilibre. En représentant donc, à l’ordinaire, par
la gravité, le poids du liquide déplacé sera
Mais y en représentant par
la masse du corps flottant, son poids sera
; on devra donc avoir suivant les lois de l’hydrostatique, et en divisant par
![{\displaystyle \delta V=M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1bb3a3883fbe44393601b7c0199b8adf259bd03)
À l’époque
le volume du liquide déplacé sera augmenté de
de sorte que ce volume sera alors