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$V+\varpi \int _{x+X}^{0}r^{2}\operatorname {d} z,$

le poids du liquide déplacé, c’est-à-dire l’action verticale de bas en haut sera donc

$g\delta \left(V+\varpi \int _{x+X}^{0}r^{2}\operatorname {d} z\right)\,;$

mais l’action verticale de haut en bas sera égale au poids du corps flottant, c’est-à-dire, à $gM$ ; on aura donc

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=gM-g\delta \left(V+\varpi \int _{x+X}^{0}r^{2}\operatorname {d} z\right)\,;$

ou simplement, en ayant égard à la relation ci-dessus entre $M$ et $V$

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-\varpi g\delta \int _{x+X}^{0}r^{2}\operatorname {d} z\,;$

ou bien encore

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-\varpi g\delta \int _{X}^{0}R^{2}\operatorname {d} z\,;\qquad$(2)

équation qui ne renfermera plus que les deux variables $x$ et $t,$ lorsqu’on en aura chassé $X,$ au moyen de l’équation (1).

Il est remarquable que ces deux équations ne renferment plus aucune trace ni du volume de la partie submergée du corps flottant dans l’état primitif d’équilibre, ni de sa masse, de sorte que les lois du mouvement de ce corps seront tout à fait indépendantes de ces deux élémens. On pourra même supposer que sa partie inférieure, ainsi que celle du vase ont une figure quelconque ; il suffira seulement que la partie de la surface de l’un et de l’autre, baignée par la surface supérieure du liquide, soit, dans toutes les situations de cette surface, une surface de révolution.

Pour appliquer ces formules générales à un exemple simple, supposons que la surface du vase et celle du corps flottant soient l’une et l’autre cylindriques, alors $R$ et $r$, rayons respectifs des cylindres,