Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/189

$x=a\operatorname {Cos} .{\frac {wt}{a}}.\qquad$(14)

En donnant à $t$ les valeurs, en progression par différences,

${\frac {4n\varpi a}{2w}},\quad {\frac {(4n+1)\varpi a}{2w}},\quad {\frac {(4n+2)\varpi a}{2w}},\quad {\frac {(4n+2)\varpi a}{2w}},$

où $n$ est un nombre entier quelconque ; on obtiendra pour $x$ les valeurs

$\pm a,\quad \pm 0,\quad -a,\quad \mp 0\,;$

Ainsi, non seulement les oscillations seront périodiques, mais chaque oscillation complète se trouvera divisée en quatre temps égaux durant lesquels le corps flottant passera successivement de sa situation la plus basse à sa situation primitive d’équilibre, de celle-ci à la plus élevée, de cette dernière à la précédente et enfin de celle-ci à la plus basse. On voit d’ailleurs (10) que ces intervalles de temps seront d’autant plus courts que la densité du liquide sera plus grande et les rayons des deux cylindres moins inégaux.

En substituant pour $x$ sa valeur (13) dans les formules (8) et (11), il viendra, en ayant égard à la relation (10),

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {w^{2}}{a}}\operatorname {Cos} .{\frac {wt}{a}},\qquad {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=v=w\operatorname {Sin} .{\frac {wt}{a}}\,;\qquad$(15)

telles sont donc la force accélératrice et la vîtesse en fonction du temps.

Veut-on connaître les lois du mouvement vertical de la surface supérieure du liquide ? En substituant dans la formule (7) la valeur (13) de $x$, on trouvera

$X={\frac {ar^{2}}{R^{2}-r^{2}}}\operatorname {Cos} .{\frac {wt}{a}}\,;\qquad$(16)

d’où on conclura, par deux différentiations,

\frac{\operatorname{d}X}{\operatorname{d}t}=-\frac{r^2w}{R^2-r^2}\operatorname{Sin}.\frac{wt}{a},\qquad

${\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {r^{2}w^{2}}{a\left(R^{2}-r^{2}\right)}}\operatorname {Cos} .{\frac {wt}{a}}\,;\qquad$(17)