Il résulte de là que la ligne ou la surface exprimée par une équation générale à deux ou à trois variables, d’une forme donnée, ne saurait être assujétie qu’à autant de conditions moins une que cette équation a de termes. Ainsi, par exemple, une ligne du second ordre ne saurait être assujétie à plus de cinq conditions, ni une surface de cet ordre à plus de neuf.
Cela posé, pour qu’une ellipse ou une hyperbole soit donnée de grandeur, il faut en connaître deux élémens, tels, par exemple, que les deux axes, ou l’un d’eux avec l’excentricité ou le paramètre, ou encore ces deux derniers lignes, etc. Pour qu’en outre elle soit donnée de situation, il faut connaître et les deux coordonnées de son centre, et une quantité angulaire qui détermine la direction de l’un de ses axes.
On pourrait encore, pour donner une ellipse ou une hyperbole de grandeur et de situation sur un plan, donner les quatre coordonnées de ses deux foyers, avec l’un de ses axes, son excentricité ou son paramètre. Dans l’un comme dans l’autre cas, cinq élémens seront donc également nécessaires et seront en outre suffisant pour déterminer complètement la grandeur et la situation d’une ellipse ou d’une hyperbole sur un plan.
Donc, quand bien mërpe on ne connaîtrait encore l’ellipse et l’hyperbole que par leur définition géométrique, que par leur description graphique, on pourrait affirmer que l’équation générale de l’une ou de l’autre courbe doit contenir cinq coefficiens arbitraires et indépendans ; que conséquemment cette équation doit avoir six termes ; qu’ainsi elle ne saurait être d’un degré moindre que le second ; que, par suite, si elle est de ce degré, elle doit être complète, sans aucune relation obligée entre ses coefficiens ; qu’enfin c’est proposer un problème possible et déterminé que de demander de faire passer une ellipse ou une hyperbole par cinq points donnés.
Si, des cinq élémens qui doivent déterminer la grandeur et la
