situation de la courbe, un était donné, ou, ce qui revient au même, si l’on exigeait qu’il existât une certaine équation de relation entre tous ou partie de ces élémens, le nombre des élémens vraiment arbitraires et indépendans se trouvant ainsi réduit à quatre, on ne pourrait plus assujétir la courbe qu’à passer par quatre points seulement ; et il devrait conséquemment exister une certaine relation homogène entre les coefficiens de son équation générale.
C’est, par exemple, ce qui arriverait si l’on exigeait que la courbe fût semblable à une ellipse ou à une hyperbole donnée ; car, cela reviendrait à donner le rapport de grandeur des axes, ou encore à donner l’angle soit des diamètres conjugués égaux soit des asymptotes. C’est encore ce qui arriverait si l’on exigeait que le centre, l’un des foyers ou l’un des sommets de la courbe, fût situé sur une droite donnée. Dans tous les cas semblables, les coefficiens de l’équation générale ne sauraient être liés entre eux par plus d’une condition.
On voit par là, en particher, que c’est sans fondement aucun que, dans un traité élémentaire fort répandu, et que même beaucoup de jeunes gens se croient dans l’obligation d’étudier, on a avancé que deux conditions sont nécessaires pour que l’équation générale du second degré à deux indéterminées, exprime une hyperbole équilatère. Il est évident, par ce qui précède, qu’une seule condition suffit pour cela. Du reste, l’hyperbole équilatère n’a rien ici de plus particulier que toute autre hyperbole, dont l’angle des asymptotes serait donné.
Il pourrait se faire qu’en voulant rendre l’ellipse ou l’hyperbole à construire, semblable à une ellipse ou à une hyperbole donnée, elle se réduisît à un point ou au système de deux droites. Une seule condition est donc nécessaire pour qu’une équation complète du second degré à deux indéterminées exprime un point ou le système de deux droites.
Dans le cas de l’ellipse, celle à laquelle et doit être semblable peut dégénérer en cercle ; alors on n’a plus à déterminer la direction de l’un des axes trois élémens suffisent donc pour déter-
