miner un cercle de grandeur et de situation, sur un plan ; savoîH les deux coordonnées de son centre et son rayon ; deux équations de relation entre les coefficiens d’une équation du second degré à deux indéterminés, sont donc nécessaires pour que cette équation exprime un cercle.
Pour donner deux parallèles sur un plan, il suffit de donner les segmens que l’une d’elles détermine sur les deux axes, à partir de l’origine et la distance qui la sépare de l’autre, ce qui fait trois élémens, comme pour le cercle ; donc aussi deux conditions sont nécessaires pour qu’une équation du second degré à deux indéterminées exprime le système de deux parallèles.
Si la distance entre les parallèles était donnée, il ne resterait plus que deux élémens arbhraires ; et il en serait encore de même si cette distance était nulle ; donc aussi trois conditions sont nécessaires pour qu’une équation du second degré à deux indéterminées exprime le système de deux droites qui se confondent.
Pour se donner, de grandeur et de situation, une ellipse ou une hyperbole sur un plan, on peut se donner les deux coordonnées de l’une des extrémités du grand axe ou de l’axe transverse, l’angle qui en détermine la direction, sa longueur et le paramètre. Si l’on suppose que cet axe doive avoir une longueur donnée, la courbe ne dépendra plus que de quatre élémens ; et il en sera encore de même si cette longueur est infinie ; mais, comme alors on, passe à la parabole, il s’ensuit que la détermination complète d’une parabole sur un plan ne dépend que de quatre conditions seulement, et qu’ainsi une seule équation de relation est nécessaire entre les coefficiens d’une équation complète du second degré à deux indéterminées, pour que cette équation exprime une parabole. Il en faudrait deux pour qu’elle exprimât une parabole dont le paramètre serait donné. M. Pagani appelle parabole équilatère celle dont le paramètre est égal à l’unité ; mais cette dénomination nous paraît tout à fait impropre, puisqu’ainsi toute parabole serait ou ne serait point équilatère, suivant l’unité qu’on voudrait choisir.
