On voit, en résumé, 1.o que, par cinq points donnés, on peut faire passer une ellipse ou une hyperbole quelconque ; 2.o que, par quatre points donnés, on peut faire passer ou une hyperbole équilatère ou le système de deux droites qui se coupent ou une parabole ; 3.o que, par trois points donnés, on peut faire passer ou une circonférence de cercle ou le système de deux parallèles ; 4.o qu’enfin, par deux points donnés, on peut faire passer le système de deux droites qui se confondent.
II. Pour déterminer de grandeur un ellipsoïde ou un hyperboloïde, il faut simplement connaître les longueurs de ses trois diamètres principaux ; pour le déterminer en outre de situation dans l’espace, il faut connaître les trois coordonnées de son centre, deux angles qui déterminant la direction de l’un de ses diamètres principaux et, par suite, le plan des deux autres, et enfin un troisième angle qui fixe la direction d’un de ceux-ci dans ce plan, ce qui fait en tout neuf élémens distincts et indépendans.
Donc, quand bien même l’ellipsoïde et l’hyperboloïde ne nous seraient connus que par leur définition, que par leur description graphique, on pourrait affirmer que l’équation générale de l’une ou de l’autre surface doit renfermer neufs coefficiens distincts et indépendans et doit, par conséquent, avoir dix termes ; qu’ainsi cette équation ne saurait être d’un degré moindre que le second ; que, si elle n’excède pas le second degré, elle doit être complète, sans qu’il existe aucune relation obligée entre les coefficiens de ses termes ; et qu’enfin c’est proposer un problème possible et déterminé que de demander de faire passer un ellipsoïde ou un hyperboloïde, par neuf points donnés.
Si, des neuf éjémens qui doivent déterminer la grandeur et la situation de la surface courbe, un était donné, ou, ce qui revient au même, si l’on exigeait qu’il existât une certaine équation de relation entre tous ou partie de ces élémens, le nombre des élémens, vraiment arbitraires et indépendans, se trouvant ainsi
