du second ordre exprime une telle surface, il suffit d’une seule relation homogène entre ses coefficiens.
Si, des neuf élémens qui déterminant de grandeur et de situation dans l’espace un ellipsoïde ou hyperboloïde, deux étaient donnés, ou ce qui rerient au même, si l’on exigeait qu’il existât deux relations données entre tous ou partie de ces élémens, le nombre des élémens vraiment arbitraires et indépendans se trouvant ainsi réduits à sept, on ne pourrait plus assujétir la surface qu’à passer par sept points seulement ; et il devrait conséquemment exister deux relations distinctes entre les coefficiens de l’équation générale.
C’est, par exemple, ce qui arriverait si l’on exigeait que l’une des sections principales fût une ellipse ou une hyperbole donnée, au que la surface fût semblable à une surface donnée. C’est encore ce qui arriverait si l’on exigeait que le centre ou l’un des sommets se trouvât sur une droite donnée.
Pour donner de grandeur un ellipsoïde ou un hyperboloïde de révolution, il suffit de donner le rayon de sa section circulaire principale et la longneur du diamètre principal, perpendiculaire à son plan. Pour que cette surface soit donnée en outre de situation dans l’espace, il faudra donner les trois coordonnées de son centre et en outre deux angles qui fixent la direction de son axe ; donc l’ellipsoïde et l’hyperboloïde de révolution sont du nombre des surfaces du second ordre qui ne dépendent que de sept élémens, et qui sont complètement déterminées dans l’espace lorsqu’on les assujélit à passer par sept points donnés ; d’où il suit que, pour que l’équation du second degré à trois indéterminées exprime une telle surface, il faut qu’il existe deux équations de relation entre les coefficiens de ses termes.
Pour donner de grandeur un cylindre elliptique ou hyperbolique, il suffit de donner les diamètres principaux de l’une de ses sections orthogonales ; pour qu’il soit donné en outre de situation dans l’espace, il faut donner les quatre coordonnées des deux points où son axe perce deux des plans coordonnés ; enfin, il faut encore donner un angle qui fixe la situation du plan de l’une de
