d’où il suit encore que trois conditions sont nécessaires pour que l’équation générale du second degré, à trois indéterminées, exprime une telle surface.
Pour qu’un cylindre parabolique soit donné de grandeur, il suffit de donner le paramètre commun de toutes ses sections orthogonales ; pour qu’il soit donné en outre de situation dans l’espace il faudra donner encore les quatre coordonnées des deux points où deux plans coordonnés sont percés par la droite qui contient les sommets de toutes ces sections ; il faudra donner aussi un angle qui détermine la direction de son plan diamétral principal ; donc le cylindre parabolique est aussi une des surfaces dont la grandeur et la situation, dans l’espace, ne dépendent que de six élémens, et qu’on détermine complètement en les assujettissant à passer par six points donnés ; et trois conditions sont nécessaires pour que l’équation générale du second degré, à trois indéterminées, exprime une telle surface.
Pour déterminer deux plans dans l’espace, il suffit de connaître les six segmens qu’ils déterminant sur les trois axes à partir de l’origine ; donc le système de deux plans doit encore être classé parmi les surfaces dont la détermination complète dépend de six conditions, et qu’on peut conséquemment assujétir à passer par six points donnés ; et trois conditions sont nécessaires pour que l’équation générale du second degré à trois indéterminées exprime un tel système.
Nous venons de voir ci-dessus que sept élémens sont nécessaires pour déterminer, de grandeur et de situation dans l’espace, un cylindre elliptique ; de sorte que, si l’on exigeait que ses sections orthogonales fussent semblables à une ellipse donnée, il ne dépendrait plus que de six élémens ; mais il pourrait bien se faire qu’alors les sections orthogonales se réduisissent à des points, ce qui réduirait le cylindre à une droite indéfinie ; donc trois conditions sont nécessaires pour que l’équation générale du second degré, à trois indéterminées, exprime une simple ligne droite.
Si des neuf élémens qui déterminant, en général, de grandeur
