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$\xi ={\frac {\operatorname {F} p}{\operatorname {F'} p}}\,;\qquad$(3)

telle est donc, à peu près, ce qu’il faut retrancher au nombre donné $p,$ pour avoir la valeur $r$ de $x,$ de sorte que nous pourrons écrire, par forme d’approximation,

$x=p-{\frac {\operatorname {F} p}{\operatorname {F'} p}}\,;\qquad$(4)

ce qui donne cette règle fort simple : ce qu’il faut retrancher d’une valeur approchée, mais un peu trop grande, de l’une des racines réelles positives d’une équation numérique pour en obtenir une valeur plus approchée, est une fraction ayant pour numérateur ce que devient le premier membre de l’équation proposée en y mettant cette première valeur approchée à la place de l’inconnue, et pour dénominateur ce que devient la fonction dérivée de ce premier membre lorsqu’on y fait la même substitution.

La forme même de la valeur (3) de $\xi$ semble venir pleinement à l’appui de cette proposition. Si, en effet, $p$ est un nombre presque égal à une des racines de l’équation (1), le numérateur $\operatorname {F} p$ de cette valeur doit être un très-petit nombre, tellement que, si $p$ était rigoureusement racine de l’équation (1), ce numérateur serait tout à fait nul. Mais il n’en saurait être de même, en général, de son dénominateur $\operatorname {F'} p$. Pour qu’en effet ce dénominateur fût tout à fait nul, en même temps que le numérateur $\operatorname {F} p$, il faudrait, suivant la théorie des racines égales, que l’équation (1) eût plusieurs racines égales à $p\,;$ d’où il suit que, pour qu’il fût très-petit en méme temps que le numérateur, il faudrait que l’équation (1) eût plusieurs racines peu différentes de $p\,;$ supposition que, des le début, nous avons formellement exclue. Dans notre hypothèse, donc, le dénominateur de la valeur de $\xi$ sera généralement beaucoup plus grand que son numérateur ; cette valeur sera donc