peu différent de la racine qu’on cherche ; mais l’on va l’oir tout à l’heure que cette condition a le double défaut de n’êtreni nécessaire ni suffisante. On verra que, si voisine que se trouve de la véritable cette valeur de départ, la méthode peut très-bien être en défaut ; tandis qu’au contraire on peut en obtenir un succès complet dans certains cas, quelque éloignée que soit cette valeur de départ de la racine dont on poursuit l’approximation. On verra en outre que le procédé peut fort bien réussir lors même que plusieurs des racines de la proposée différent très-peu du nombre , tandis que, dans le cas contraire, elle peut très-bien se trouver en défaut ; ce qui revient adiré finalement qu’on a complètement ignoré jusqu’ici les conditions strictement nécessaires et suffisantes pour en assurer certainement le succès.
Pour découvrir ces conditions, consultons la géométrie, et essayons de traduire nos approximations successives en procédé graphique. Considérons la courbe parabolique donnée par l’équation
la résolution de l’équation (1) se réduira, comme l’on sait, à assigner les distances de l’origine aux diverses intersections de cette courbe avec l’axe des c’est-à-dire, les valeurs de qui répondent à .
étant, en général, l’ordonnée qui répond à l’abscisse , et l’angle que fait avec cet axe la tangente menée à la courbe par l’extrémité de cette ordonnée, il s’ensuit que est l’expression de la sous-tangente qui répond à cette même abscisse, et que conséquemment est la distance de l’origine au point où l’axe des est coupé par la tangente menée à la courbe par le point dont l’abscisse est donc est la distance de l’origine au point où l’axe des est coupé par la tangente au point de la courbe dont l’abscisse est
