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En conséquence le calcul indiqué par la série des équations (5) pourra être traduit graphiquement ainsi qu’il suit :

Soient $\mathrm {O}$ l’origine des coordonnées et $\mathrm {P}$ un quelconque des points de l’axe des $x.$ Soient menées l’ordonnée $\mathrm {PM,}$ terminée à la courbe en $\mathrm {M,}$ et ensuite la tangente $\mathrm {MP',}$ se terminant à l’axe des $x$ en $\mathrm {P'\,;}$ soit menée l’ordonnée $\mathrm {P'M',}$ terminée à la courbe en $\mathrm {M',}$ ; et ensuite la tangente $\mathrm {M'P'',}$ se terminant à l’axe des $x$ en $\mathrm {P''\,;}$ soit menée l’ordonnée $\mathrm {P''M''}$ terminée à la courbe en $\mathrm {M'',}$ et ensuite la tangente $\mathrm {M''P'''}$ se terminant à l’axe des $x$ en $\mathrm {P''',}$ et ainsi de suite, indéfiniment ; alors, si $\mathrm {OP}$ est supposé le nombre donné $p,\ \mathrm {OP',OP''} ,$$\mathrm {OP'''} ,\ldots$ seront les valeurs de $p,p_{1},p_{2},\ldots$ données par les équations (5).

À l’aide de cette construction^[1], il nous sera très-facile d’assigner les circonstances dans lesquelles on peut compter sûrement sur le succès de la méthode, et celles où, au contraire, elle peut se trouver en défaut.

Soit d’abord $\mathrm {R}$ (fig. 1) un des points d’intersection de la courbe parabolique avec l’axe des $x,$ et soit $\mathrm {OR}$ la racine de l’équation $\operatorname {F} x=0$ dont on se propose d’approcher de plus en plus. Soit $OP>\mathrm {OR} ,$ valeur de départ, et soit $\mathrm {PM}$ l’ordonnée qui répond à l’abscisse $\mathrm {OP}$ ; le succès de fa méthode sera infaillible si, dans toute l’étendue de l’arc $\mathrm {MR} ,$ les ordonnées sont constamment positives et décroissantes, et qu’il en soit de même des inclinaisons des tangentes sur l’axe des $x$, c’est-à-dire, si cet arc ne présente ni sommets ni points d’inflexion ; car il est manifeste qu’alors $\mathrm {OR}$ sera la limite de $\mathrm {OP,OP',OP'',OP'''} ,\ldots$ pourvu toutefois que ces dernières quantités soient déterminées par un calcul rigoureux.

Le succès de la méthode sera encore infaillible (fig. 2) si les

1. Cette construction, dont je fais depuis long-temps usage dans mes cours, m’a été indiquée assez récemment par M. Bérard, géomètre distingué de Briançon, qui la croyait nouvelle, parce qu’en effet elle paraît n’avoir encore été publiée nulle part.