ordonnées et les inclinaisons des tangentes sur l’axe des , dans toute l’étendue de l’arc étant constamment négatives. les unes et les autres vont continuellement en décroissant, abstraction faite de leur signe ; ce qui arrivera encore nécessairement si cet arc ne présente ni sommets ni points d’inflexion ; car, dans ce cas, comme dans le précédent, sera nécessairement la limite de
Si, dans toute l’étendue de l’arc (fig. 3 et 4), les ordonnées et les inclinaisons des tangentes sur l’axe des décroissant encore continuellement, abstraction faite de leur signe, c’est-à dire si cet arc, ne présentant encore ni sommets ni points d’inflexion, comme dans les deux cas précédens, ces ordonnées et ces inclinaisons étaient constamment de signes contraires, le procédé réussirait encore infailliblement, pourvu que l’on prit l’abscisse de départ moindre que la racine cherchée ; mais alors cette racine serait la limite supérieure des grandeurs croissantes
Si l’on remarque présentement que est l’ordonnée, l’inclinaison de la tangente sur l’axe des , et que ne peut changer de signe qu’à la rencontre d’un point d’inflexion, on pourra réduire tout ce qui précède au résumé que voici : Soit une des racines de la proposée dont on propose d’obtenir des valeurs de plus en plus approchées ; pour qu’en partant d’une première valeur approchée l’application de la méthode de Newton obtienne un plein succès, il suffit que, dans tout l’intervalle de à , aucune des fonctions et ne change de signe, et que les deux premières, abstraction faite de leurs signes, soient constamment décroissantes ; pourvu toutefois que l’on prenne plus grand ou plus petit que , suivant qu’entre ces mêmes limites et seront de même signe ou de signes contraires.
On voit par là qu’il n’est point toujours nécessaire, pour le succès de la méthode, que la valeur de départ soit très-peu différente de la racine dont on poursuit l’approximation. Tout ce
