qu’on peut gagner à prendre très-peu différent de c’est de diminuer les chances d’existence des sommets et des points d’inflexion entre ces deux limites ; mais ces sommets et ces points d’inflexion peuvent fort bien exister entre ces mêmes limites, quelque rapprochées d’ailleurs qu’on les suppose.
Nous avons signalé simplement, comme suffisante et non comme nécessaire, la condition d’absence de tout sommet et de tout point d’inflexion entre les limites et ; et c’est qu’en effet le procédé pourrait fort bien réussir dans le cas même ou il existerait des sommets et des points d’inflexion entre ces mêmes limites ; mais alors le succès n’en serait pas certain et dépendrait de la grandeur du nombre de départ. C’est ce que montrent évidemment les figures 5 et 6, où il s’agit de la même courbe parabolique et conséquemment de la même équation à résoudre, et de plus de la même racine à chercher. Dans l’une et dans l’autre, il se trouve deux sommets et deux points d’inflexion entre les limites et ; mais bien que, dans la figure 5, la valeur de départ soit moins rapprochée de la racine qu’elle ne l’est dans la figure 6, le procédé réussit très-bien dans la première de ces deux figures, tandis qu’il est en défaut dans la seconde où, comme l’on voit, les grandeurs ne sont pas constamment décroissantes.
Il est aisé de voir que, réciproquement, lorsque les valeurs de déduites de quelque valeur de que se puisse être, sont constamment convergentes vers une certaine limite, ou du moins deviennent convergentes, au-delà d’un certain terme, on peut être certain que la limite vers laquelle elles convergent est une des racines de l’équation On obtient donc ainsi, par le progrès du calcul, une suite de valeurs de cette racine de moins en moins différentes de la véritable ; mais on peut désirer plus encore ; on peut désirer de connaître, à chaque approximation nouvelle, la limite de l’erreur dont cette approximation est affectée ; c’est là un complément que la méthode d’approximation de Newton
