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${\frac {\operatorname {F} q_{1}}{\operatorname {F} 'p_{1}}},{\frac {\operatorname {F} q_{2}}{\operatorname {F} 'p_{2}}},\ldots \,;$ de manière que les formules (6) subsisteraient encore.

Si la courbe était tournée (fig. 9 et 10) comme dans les figures 3 et 4, où $p=\mathrm {OP}$ est une limite inférieure à la racine $r=\mathrm {OR}$ ; il faudrait alors prendre la valeur de départ $q=\mathrm {OQ}$ plus grande que cette même racine ; et, en ayant égard aux signes, les formules (6) continueraient à avoir lieu.

Il y a du reste à dire, sur ce complément au procédé de Newton, tout ce que nous avons dit sur ce procédé lui-même ; ainsi on en obtiendra toujours un plein succès toutes les fois que l’arc $\mathrm {NR}$ n’offrira ni sommets ni points d’inflexion, tandis que, dans le cas contraire, il pourra indifféremment réussir ou se trouver en défaut, suivant la grandeur des nombres de départ $p$ et $q$ ; c’est ce qu’on aperçoit clairement à l’inspection des figures 11 et 12 ; dans la première, le procédé obtient un plein succès, tandis que, dans la seconde, bien que la valeur de départ $\mathrm {OQ}$ soit plus voisine de la véritable $\mathrm {OR}$ que dans l’autre, les longueurs $\mathrm {OQ,OQ',OQ''} ,\ldots$ finissent par dépasser la longueur $\mathrm {OR.}$

On voit donc, en résumé, que, toutes les fois que l’on saura que l’une des racines réelles, d’une équation numérique proposée est comprise entre deux limites $p$ et $q$, plus ou moins rapprochées l’une de l’autre, mais telles que, dans toute l’étendue de l’arc de la courbe parabolique compris entre les ordonnées qui répondent à ces limites, cet arc ne présente ni sommets ni points d’inflexion^[1], rien ne sera plus aisé que de resserrer indéfiniment ces limites, et d’obtenir ainsi une valeur de cette racine, aussi approchée qu’on

1. Nous comprenons ici, sous la dénomination commune des sommets, tous les points de la courbe dont la tangente est parallèle à l’axe des $x,$ et dont peuvent être en même temps des points d’inflexion.