Ces sortes de fonctions se représentant sans cesse dans l’analyse et dans ses applications, soit à la géométrie, soit à la mécanique, on est fondé à présumer qu’elles doivent y jouer un rôle assez important ; et l’on se trouve ainsi naturellement invité à en étudier la nature et les propriétés.
La notion que nous venons de donner ici des fonctions dérivées semblerait, au premier abord, n’être applicable qu’aux fonctions composées d’une suite de monomes, telles que celle que nous avons prise pour exemple ; mais on ne doit pas perdre de vue que toutes les fonctions connues sont réductibles à cette forme, et qu’ainsi développées, rien n’est plus facile alors que d’en former les fonctions dérivées. À la vérité, ces dérivées, comme leur fonction primitive elle-même, après son développement, se trouveront le plus souvent composées d’une infinité de termes ; mais le plus souvent aussi ces termes, en nombre infini, seront le développement connu d’une fonction finie de , laquelle pourra ainsi être considérée comme la dérivée de la fonction primitive proposée.
Éclaircissons ceci par un exemple simple ; soit la fonction primitive dont on demande la fonction dérivée ; en la développant en série, par la formule du binome, on trouve a^m+
développement qui, excepté le cas où est un nombre entier positif, se compose d’une infinité de termes, et dont la fonction dérivée est
qui peut être encore écrite comme il suit :
