Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/233

$X'=A'x^{\alpha '}+B'x^{\beta '}+C'x^{\gamma '}+\ldots ,$

d’où

$X+X'=\left\{{\begin{aligned}&Ax^{\alpha }+Bx^{\beta }+Cx^{\gamma }+\ldots \\\\+&A'x^{\alpha '}+B'x^{\beta '}+C'x^{\gamma '}+\ldots \end{aligned}}\right\}$

on en conclura

$\operatorname {d} X\ \,=\alpha Ax^{\alpha -1}+\beta Bx^{\beta -1}+\gamma Cx^{\gamma -1}+\ldots$

$\operatorname {d} X'=\alpha 'A'x^{\alpha '-1}+\beta 'B'x^{\beta '-1}+\gamma 'C'x^{\gamma '-1}+\ldots$

$\operatorname {d} (X+X')=\left\{{\begin{aligned}&\alpha Ax^{\alpha -1}+\beta Bx^{\beta -1}+\gamma Cx^{\gamma -1}+\ldots \\\\+&\alpha 'A'x^{\alpha '-1}+\beta 'B'x^{\beta '-1}+\gamma 'C'x^{\gamma '-1}+\ldots \end{aligned}}\right\}$

et, par suite,

$\operatorname {d} X+\operatorname {d} X'=\left\{{\begin{aligned}&\alpha Ax^{\alpha -1}+\beta Bx^{\beta -1}+\gamma Cx^{\gamma -1}+\ldots \\\\+&\alpha 'A'x^{\alpha '-1}+\beta 'B'x^{\beta '-1}+\gamma 'C'x^{\gamma '-1}+\ldots \end{aligned}}\right\}$

ce qui donne, en comparant,

$\operatorname {d} (X+X')=\operatorname {d} X+\operatorname {d} X'\,;\qquad$(1)

c’est-à-dire : la dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces deux fonctions.

Si, dans cette formule, on suppose que $X'$ se change en $X'+X'',$ elle deviendra

$\operatorname {d} (X+X'+X'')=\operatorname {d} X+\operatorname {d} (X'+X''),$

ou, en vertu de la même formule,