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$\operatorname {d} (X+X'+X'')=\operatorname {d} X+\operatorname {d} X'+\operatorname {d} X''$

supposant encore que X se change en $X''+X''',$ on aura

$\operatorname {d} (X+X'+X''+X''')=\operatorname {d} X+\operatorname {d} X'+\operatorname {d} (X''+X''')\,;$

ou bien, en vertu de la même formule,

$\operatorname {d} (X+X'+X''+X''')=\operatorname {d} X+\operatorname {d} X'+\operatorname {d} X''+\operatorname {d} X''',$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura, en général,

$\operatorname {d} (X+X'+X''+X'''+\ldots )=\operatorname {d} X+\operatorname {d} X'+\operatorname {d} X''+\operatorname {d} X'''+\ldots ,\quad$(2)

c’est-à-dire : la dérivée de la somme de tant de fonctions qu’on voudra est égale à la somme des dérivées de toutes ces fonctions.

Supposons $X=X'=X''=X'''=\ldots$ et ces fonctions au nombre de $n$ la formule (2) deviendra simplement

$\operatorname {d} .nX=n.\operatorname {d} X\,;\qquad$(3)

c’est-à-dire : la dérivée du produit d’une fonction par un nombre entier positif quelconque est le produit de la dérivée de cette fonction par ce même nombre.

En vertu de la formule (1), on a

$\operatorname {d} (X'+X'')=\operatorname {d} X'+\operatorname {d} X''\,;$

posant

$X'+X''=X,\quad$d’où$\quad X''=X-X',$

il viendra, en substituant,

$\operatorname {d} X=\operatorname {d} X'+\operatorname {d} (X-X'),$

ce qui donne