Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/240

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura, en général,

${\frac {\operatorname {d} .XX'X''X'''\ldots }{XX'X''X'''\ldots }}={\frac {\operatorname {d} X}{X}}+{\frac {\operatorname {d} X'}{X'}}+{\frac {\operatorname {d} X''}{X''}}+{\frac {\operatorname {d} X'''}{X'''}}+\ldots$ (10)

c’est-à-dire : le quotient qu’on obtient en divisant la dérivée du produit d’un nombre quelconque de fonctions par ce produit lui-même, est égal à la somme des quotiens qu’on obtient en divisant respectivement les dérivées des facteurs par ces mêmes facteurs.

Supposons $X=X'=X''=X'''=\ldots$ et ces fonctions au nombre de $n\,;$ la formule (10) deviendra simplement

${\frac {\operatorname {d} .X^{n}}{X^{n}}}=n.{\frac {\operatorname {d} X}{X}}\,;\qquad$(11)

c’est-à-dire : le quotient qu’on obtient en divisant la dérivée d’une puissance entière et positive d’une fonction par cette puissance même, est égal au résultat qu’on obtient en multipliant par l’exposant de la puissance la dérivée de la fonction divisée par cette même fonction.

En vertu de la formule (8) on a

${\frac {\operatorname {d} .X'X''}{X'X''}}={\frac {\operatorname {d} X'}{X'}}+{\frac {\operatorname {d} X''}{X''}}\,;$

posant

$X'X''=X,\quad$d’où$\quad X''={\frac {X}{X'}},$

il viendra, en substituant,

${\frac {\operatorname {d} X}{X}}={\frac {\operatorname {d} X'}{X'}}+{\frac {\operatorname {d} {\frac {X}{X'}}}{\frac {X}{X'}}}.$

d’où