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${\frac {\operatorname {d} {\frac {X}{X'}}}{\frac {X}{X'}}}={\frac {\operatorname {d} X}{X}}-{\frac {\operatorname {d} X'}{X'}}\,;\qquad$(12)

c’est-à-dire : la dérivée du quotient de deux fonctions divisée par ce quotient lui-même est égale à la dèriçée du dividende divisée par le dividende, moins la dérivée du diviseur divisée par le diviseur.

Si, dans cette dernière formule, on suppose $X=1$, on aura $\operatorname {d} X=0$ ; en conséquence elle deviendra, en changeant $X'$ en $X,$

${\frac {\operatorname {d} {\frac {1}{X}}}{\frac {1}{X}}}=-{\frac {\operatorname {d} X}{X}}\,;\qquad$(13)

c’est-à-dire : la dérivée de l’inverse d’une fonction, divisée par cette inverse, est égale au quotient, pris en signe contraire, de la dérivée de cette fonction par la fonction même ; ou, en d’autres termes, si le produit de deux fonctions est l’unité, la somme des quotiens respectifs de leurs dérivées par ces fonctions elles-mêmes sera nulle.

De tout cela il est facile de conclure généralement que la dérivée du quotient de la division du produit de plusieurs fonctions par le produit de plusieurs autres fonctions, divisée par ce quotient même, est égale à la somme des dérivées des facteurs du dividende, divisées respectivement par ces facteurs, moins la somme des dérivées des facteurs du diviseur, divisées aussi respectivement par ces derniers.

En vertu de la formule (11), on a

${\frac {\operatorname {d} .X'^{n}}{X'^{n}}}=n.{\frac {\operatorname {d} X'}{X'}}\,;$

posant